Trigonometrie Beispiele

$\tan (\frac{x}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$\frac{x}{3} = \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Der genau Wert von $\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$ ist $\frac{π}{6}$ .

$\frac{x}{3} = \frac{π}{6}$

Schritt 3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $3$ .

$3 \frac{x}{3} = 3 \frac{π}{6}$

Schritt 4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{x}{3} = 3 \frac{π}{6}$

Schritt 4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 3 \frac{π}{6}$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.1.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$x = 3 \frac{π}{3 (2)}$

Schritt 4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 3 \frac{π}{3 \cdot 2}$

Schritt 4.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 5

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$\frac{x}{3} = π + \frac{π}{6}$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $3$ .

$3 \frac{x}{3} = 3 (π + \frac{π}{6})$

Schritt 6.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{x}{3} = 3 (π + \frac{π}{6})$

Schritt 6.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 3 (π + \frac{π}{6})$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Vereinfache $3 (π + \frac{π}{6})$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$x = 3 (π \cdot \frac{6}{6} + \frac{π}{6})$

Schritt 6.2.2.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.2.2.1.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{6}{6}$ .

$x = 3 (\frac{π \cdot 6}{6} + \frac{π}{6})$

Schritt 6.2.2.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = 3 \frac{π \cdot 6 + π}{6}$

Schritt 6.2.2.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.2.2.1.2.3.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$x = 3 \frac{π \cdot 6 + π}{3 (2)}$

Schritt 6.2.2.1.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 3 \frac{π \cdot 6 + π}{3 \cdot 2}$

Schritt 6.2.2.1.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{π \cdot 6 + π}{2}$

Schritt 6.2.2.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.2.1.3.1

Bringe $6$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π + π}{2}$

Schritt 6.2.2.1.3.2

Addiere $6 π$ und $π$ .

$x = \frac{7 π}{2}$

Schritt 7

Ermittele die Periode von $\tan (\frac{x}{3})$ .

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Schritt 7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 7.2

Ersetze $b$ durch $\frac{1}{3}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| \frac{1}{3} |}$

Schritt 7.3

$\frac{1}{3}$ ist ungefähr $0.\overline{3}$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{π}{\frac{1}{3}}$

Schritt 7.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$π \cdot 3$

Schritt 7.5

Bringe $3$ auf die linke Seite von $π$ .

$3 π$

Schritt 8

Die Periode der Funktion $\tan (\frac{x}{3})$ ist $3 π$ , d. h., Werte werden sich alle $3 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{2} + 3 π n, \frac{7 π}{2} + 3 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 9

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{2} + 3 π n$ , für jede ganze Zahl $n$