Trigonometrie Beispiele

$2 \sqrt{\frac{20}{3 \sqrt{5}}}$

Schritt 1

Mutltipliziere $\frac{20}{3 \sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$2 \sqrt{\frac{20}{3 \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}}$

Schritt 2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $\frac{20}{3 \sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$2 \sqrt{\frac{20 \sqrt{5}}{3 \sqrt{5} \sqrt{5}}}$

Schritt 2.2

Bewege $\sqrt{5}$ .

$2 \sqrt{\frac{20 \sqrt{5}}{3 (\sqrt{5} \sqrt{5})}}$

Schritt 2.3

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$2 \sqrt{\frac{20 \sqrt{5}}{3 ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5})}}$

Schritt 2.4

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$2 \sqrt{\frac{20 \sqrt{5}}{3 ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1})}}$

Schritt 2.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 \sqrt{\frac{20 \sqrt{5}}{3 {\sqrt{5}}^{1 + 1}}}$

Schritt 2.6

Addiere $1$ und $1$ .

$2 \sqrt{\frac{20 \sqrt{5}}{3 {\sqrt{5}}^{2}}}$

Schritt 2.7

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 2.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$2 \sqrt{\frac{20 \sqrt{5}}{3 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}}$

Schritt 2.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \sqrt{\frac{20 \sqrt{5}}{3 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}$

Schritt 2.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$2 \sqrt{\frac{20 \sqrt{5}}{3 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}}$

Schritt 2.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \sqrt{\frac{20 \sqrt{5}}{3 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}}$

Schritt 2.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$2 \sqrt{\frac{20 \sqrt{5}}{3 \cdot 5^{1}}}$

Schritt 2.7.5

Berechne den Exponenten.

$2 \sqrt{\frac{20 \sqrt{5}}{3 \cdot 5}}$

Schritt 3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $20$ und $5$ .

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Schritt 3.1

Faktorisiere $5$ aus $20 \sqrt{5}$ heraus.

$2 \sqrt{\frac{5 (4 \sqrt{5})}{3 \cdot 5}}$

Schritt 3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $5$ aus $3 \cdot 5$ heraus.

$2 \sqrt{\frac{5 (4 \sqrt{5})}{5 \cdot 3}}$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \sqrt{\frac{5 (4 \sqrt{5})}{5 \cdot 3}}$

Schritt 3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 \sqrt{\frac{4 \sqrt{5}}{3}}$

Schritt 4

Schreibe $\sqrt{\frac{4 \sqrt{5}}{3}}$ als $\frac{\sqrt{4 \sqrt{5}}}{\sqrt{3}}$ um.

$2 \frac{\sqrt{4 \sqrt{5}}}{\sqrt{3}}$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$2 \frac{\sqrt{2^{2} \sqrt{5}}}{\sqrt{3}}$

Schritt 5.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$2 \frac{2 \sqrt{\sqrt{5}}}{\sqrt{3}}$

Schritt 5.3

Schreibe $\sqrt{\sqrt{5}}$ als $\sqrt[4]{5}$ um.

$2 \frac{2 \sqrt[4]{5}}{\sqrt{3}}$

Schritt 6

Mutltipliziere $\frac{2 \sqrt[4]{5}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$2 (\frac{2 \sqrt[4]{5}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Schritt 7

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $\frac{2 \sqrt[4]{5}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$2 \frac{2 \sqrt[4]{5} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 7.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$2 \frac{2 \sqrt[4]{5} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 7.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$2 \frac{2 \sqrt[4]{5} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 7.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 \frac{2 \sqrt[4]{5} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 7.5

Addiere $1$ und $1$ .

$2 \frac{2 \sqrt[4]{5} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 7.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 7.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$2 \frac{2 \sqrt[4]{5} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 7.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{2 \sqrt[4]{5} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 7.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$2 \frac{2 \sqrt[4]{5} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{2 \sqrt[4]{5} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$2 \frac{2 \sqrt[4]{5} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 7.6.5

Berechne den Exponenten.

$2 \frac{2 \sqrt[4]{5} \sqrt{3}}{3}$

Schritt 8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1

Forme den Ausdruck um unter Verwendung des kleinsten gemeinsamen Index von $4$ .

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Schritt 8.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$2 \frac{2 (3^{\frac{1}{2}} \sqrt[4]{5})}{3}$

Schritt 8.1.2

Schreibe $3^{\frac{1}{2}}$ als $3^{\frac{2}{4}}$ um.

$2 \frac{2 (3^{\frac{2}{4}} \sqrt[4]{5})}{3}$

Schritt 8.1.3

Schreibe $3^{\frac{2}{4}}$ als $\sqrt[4]{3^{2}}$ um.

$2 \frac{2 (\sqrt[4]{3^{2}} \sqrt[4]{5})}{3}$

Schritt 8.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$2 \frac{2 \sqrt[4]{3^{2} \cdot 5}}{3}$

Schritt 8.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$2 \frac{2 \sqrt[4]{9 \cdot 5}}{3}$

Schritt 9

Mutltipliziere $9$ mit $5$ .

$2 \frac{2 \sqrt[4]{45}}{3}$

Schritt 10

Multipliziere $2 \frac{2 \sqrt[4]{45}}{3}$ .

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Schritt 10.1

Kombiniere $2$ und $\frac{2 \sqrt[4]{45}}{3}$ .

$\frac{2 (2 \sqrt[4]{45})}{3}$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4 \sqrt[4]{45}}{3}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{4 \sqrt[4]{45}}{3}$

Dezimalform:

$3.45336008 \dots$