Trigonometrie Beispiele

$2 {(\frac{\sqrt{3} - 1}{2})}^{3}$

Schritt 1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ an.

$2 \frac{{(\sqrt{3} - 1)}^{3}}{2^{3}}$

Schritt 1.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$2 \frac{{(\sqrt{3} - 1)}^{3}}{8}$

Schritt 2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$2 \frac{{(\sqrt{3} - 1)}^{3}}{2 (4)}$

Schritt 2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{{(\sqrt{3} - 1)}^{3}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{(\sqrt{3} - 1)}^{3}}{4}$

Schritt 3

Vereinfache ${(\sqrt{3} - 1)}^{3}$ .

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Schritt 3.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$\frac{{\sqrt{3}}^{3} + 3 {\sqrt{3}}^{2} \cdot - 1 + 3 \sqrt{3} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}}{4}$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Schreibe ${\sqrt{3}}^{3}$ als $\sqrt{3^{3}}$ um.

$\frac{\sqrt{3^{3}} + 3 {\sqrt{3}}^{2} \cdot - 1 + 3 \sqrt{3} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}}{4}$

Schritt 3.2.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$\frac{\sqrt{27} + 3 {\sqrt{3}}^{2} \cdot - 1 + 3 \sqrt{3} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}}{4}$

Schritt 3.2.3

Schreibe $27$ als $3^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 3.2.3.1

Faktorisiere $9$ aus $27$ heraus.

$\frac{\sqrt{9 (3)} + 3 {\sqrt{3}}^{2} \cdot - 1 + 3 \sqrt{3} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}}{4}$

Schritt 3.2.3.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3} + 3 {\sqrt{3}}^{2} \cdot - 1 + 3 \sqrt{3} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}}{4}$

Schritt 3.2.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{3 \sqrt{3} + 3 {\sqrt{3}}^{2} \cdot - 1 + 3 \sqrt{3} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}}{4}$

Schritt 3.2.5

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 3.2.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{3 \sqrt{3} + 3 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot - 1 + 3 \sqrt{3} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}}{4}$

Schritt 3.2.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \sqrt{3} + 3 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} \cdot - 1 + 3 \sqrt{3} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}}{4}$

Schritt 3.2.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{3 \sqrt{3} + 3 \cdot 3^{\frac{2}{2}} \cdot - 1 + 3 \sqrt{3} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}}{4}$

Schritt 3.2.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \sqrt{3} + 3 \cdot 3^{\frac{2}{2}} \cdot - 1 + 3 \sqrt{3} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}}{4}$

Schritt 3.2.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 \sqrt{3} + 3 \cdot 3^{1} \cdot - 1 + 3 \sqrt{3} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}}{4}$

Schritt 3.2.5.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{3 \sqrt{3} + 3 \cdot 3 \cdot - 1 + 3 \sqrt{3} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}}{4}$

Schritt 3.2.6

Multipliziere $3 \cdot 3 \cdot - 1$ .

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Schritt 3.2.6.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{3 \sqrt{3} + 9 \cdot - 1 + 3 \sqrt{3} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}}{4}$

Schritt 3.2.6.2

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$\frac{3 \sqrt{3} - 9 + 3 \sqrt{3} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}}{4}$

Schritt 3.2.7

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{3 \sqrt{3} - 9 + 3 \sqrt{3} \cdot 1 + {(- 1)}^{3}}{4}$

Schritt 3.2.8

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{3 \sqrt{3} - 9 + 3 \sqrt{3} + {(- 1)}^{3}}{4}$

Schritt 3.2.9

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{3 \sqrt{3} - 9 + 3 \sqrt{3} - 1}{4}$

Schritt 3.3

Addiere $3 \sqrt{3}$ und $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{- 9 + 6 \sqrt{3} - 1}{4}$

Schritt 3.4

Subtrahiere $1$ von $- 9$ .

$\frac{- 10 + 6 \sqrt{3}}{4}$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 10 + 6 \sqrt{3}$ und $4$ .

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Schritt 4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 10$ heraus.

$\frac{2 (- 5) + 6 \sqrt{3}}{4}$

Schritt 4.2

Faktorisiere $2$ aus $6 \sqrt{3}$ heraus.

$\frac{2 (- 5) + 2 (3 \sqrt{3})}{4}$

Schritt 4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 5) + 2 (3 \sqrt{3})$ heraus.

$\frac{2 (- 5 + 3 \sqrt{3})}{4}$

Schritt 4.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 (- 5 + 3 \sqrt{3})}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- 5 + 3 \sqrt{3})}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 5 + 3 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 5

Schreibe $- 5$ als $- 1 (5)$ um.

$\frac{- 1 (5) + 3 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 6

Faktorisiere $- 1$ aus $3 \sqrt{3}$ heraus.

$\frac{- 1 (5) - (- 3 \sqrt{3})}{2}$

Schritt 7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (5) - (- 3 \sqrt{3})$ heraus.

$\frac{- 1 (5 - 3 \sqrt{3})}{2}$

Schritt 8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{5 - 3 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{5 - 3 \sqrt{3}}{2}$

Dezimalform:

$0.09807621 \dots$