Trigonometrie Beispiele

$f (t) = 2 \csc (4 t - \frac{π}{5}) + 1$

Schritt 1

Finde die Asymptoten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Für jedes $y = \csc (x)$ existieren vertikale Asymptoten bei $x = n π$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist. Verwende die Grundperiode für $y = c s c (x)$ , $(0, 2 π)$ , um die vertikalen Asymptoten für $y = 2 \csc (4 x - \frac{π}{5}) + 1$ zu ermitteln. Setze das Innere der Kosekans-Funktion, $b x + c$ , für $y = a \csc (b x + c) + d$ gleich $0$ , um zu bestimmen, wo die vertikalen Asymptoten für $y = 2 \csc (4 x - \frac{π}{5}) + 1$ auftreten.

$4 x - \frac{π}{5} = 0$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Addiere $\frac{π}{5}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = \frac{π}{5}$

Schritt 1.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = \frac{π}{5}$ durch $4$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = \frac{π}{5}$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{5}}{4}$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{5}}{4}$

Schritt 1.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{5}}{4}$

Schritt 1.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{π}{5} \cdot \frac{1}{4}$

Schritt 1.2.2.3.2

Multipliziere $\frac{π}{5} \cdot \frac{1}{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{π}{5}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{π}{5 \cdot 4}$

Schritt 1.2.2.3.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$x = \frac{π}{20}$

Schritt 1.3

Setze das Innere der Kosekansfunktion $4 x - \frac{π}{5}$ gleich $2 π$ .

$4 x - \frac{π}{5} = 2 π$

Schritt 1.4

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.1

Addiere $\frac{π}{5}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = 2 π + \frac{π}{5}$

Schritt 1.4.1.2

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$4 x = 2 π \cdot \frac{5}{5} + \frac{π}{5}$

Schritt 1.4.1.3

Kombiniere $2 π$ und $\frac{5}{5}$ .

$4 x = \frac{2 π \cdot 5}{5} + \frac{π}{5}$

Schritt 1.4.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 x = \frac{2 π \cdot 5 + π}{5}$

Schritt 1.4.1.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.5.1

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$4 x = \frac{10 π + π}{5}$

Schritt 1.4.1.5.2

Addiere $10 π$ und $π$ .

$4 x = \frac{11 π}{5}$

Schritt 1.4.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = \frac{11 π}{5}$ durch $4$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = \frac{11 π}{5}$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{11 π}{5}}{4}$

Schritt 1.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{11 π}{5}}{4}$

Schritt 1.4.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{11 π}{5}}{4}$

Schritt 1.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{11 π}{5} \cdot \frac{1}{4}$

Schritt 1.4.2.3.2

Multipliziere $\frac{11 π}{5} \cdot \frac{1}{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{11 π}{5}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{11 π}{5 \cdot 4}$

Schritt 1.4.2.3.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$x = \frac{11 π}{20}$

Schritt 1.5

Die fundamentale Periode für $y = 2 \csc (4 x - \frac{π}{5}) + 1$ tritt auf bei $(\frac{π}{20}, \frac{11 π}{20})$ , wobei $\frac{π}{20}$ und $\frac{11 π}{20}$ vertikale Asymptoten sind.

$(\frac{π}{20}, \frac{11 π}{20})$

Schritt 1.6

Ermittle die Periode $\frac{2 π}{| b |}$ , um herauszufinden, wo die vertikalen Asymptoten existieren. Vertikale Asymptoten treten jede halbe Periode auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $4$ ist $4$ .

$\frac{2 π}{4}$

Schritt 1.6.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 π$ heraus.

$\frac{2 (π)}{4}$

Schritt 1.6.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.6.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.6.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{π}{2}$

Schritt 1.7

Die vertikalen Asymptoten für $y = 2 \csc (4 x - \frac{π}{5}) + 1$ treten auf bei $\frac{π}{20}$ , $\frac{11 π}{20}$ und jedem $x = \frac{π}{20} + \frac{π n}{4}$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist. Das ist die Hälfte der Periode.

$x = \frac{π}{20} + \frac{π n}{4}$

Schritt 1.8

Der Kosekans hat nur vertikale Asymptoten.

Keine horizontalen Asymptoten

Keine schiefen Asymptoten

Vertikale Asymptoten: $x = \frac{π}{20} + \frac{π n}{4}$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist

Keine horizontalen Asymptoten

Keine schiefen Asymptoten

Vertikale Asymptoten: $x = \frac{π}{20} + \frac{π n}{4}$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist

Schritt 2

Wende die Form $a \csc (b x - c) + d$ an, um die Variablen, die zur Ermittlung von Amplitude, Periode, Phasenverschiebung und vertikaler Verschiebung genutzt werden, zu bestimmen.

$a = 2$

$b = 4$

$c = \frac{π}{5}$

$d = 1$

Schritt 3

Da der Graph der Funktion $c s c$ kein Maximum oder Minimum hat, kann es keinen Wert für die Amplitude geben.

Amplitude: Keine

Schritt 4

Ermittle die Periode mithilfe der Formel $\frac{2 π}{| b |}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Ermittele die Periode von $2 \csc (4 x - \frac{π}{5})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 4.1.2

Ersetze $b$ durch $4$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 4 |}$

Schritt 4.1.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $4$ ist $4$ .

$\frac{2 π}{4}$

Schritt 4.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 π$ heraus.

$\frac{2 (π)}{4}$

Schritt 4.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{π}{2}$

Schritt 4.2

Ermittele die Periode von $1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 4.2.2

Ersetze $b$ durch $4$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 4 |}$

Schritt 4.2.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $4$ ist $4$ .

$\frac{2 π}{4}$

Schritt 4.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 π$ heraus.

$\frac{2 (π)}{4}$

Schritt 4.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{π}{2}$

Schritt 4.3

Die Periode der Summe/Differenz trigonometrischer Funktionen ist das Maximum der individuellen Perioden.

$\frac{π}{2}$

Schritt 5

Ermittle die Phasenverschiebung mithilfe der Formel $\frac{c}{b}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Die Phasenverschiebung der Funktion kann mithilfe von $\frac{c}{b}$ berechnet werden.

Phasenverschiebung: $\frac{c}{b}$

Schritt 5.2

Ersetze die Werte von $c$ und $b$ in der Gleichung für die Phasenverschiebung.

Phasenverschiebung: $\frac{\frac{π}{5}}{4}$

Schritt 5.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

Phasenverschiebung: $\frac{π}{5} \cdot \frac{1}{4}$

Schritt 5.4

Multipliziere $\frac{π}{5} \cdot \frac{1}{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.1

Mutltipliziere $\frac{π}{5}$ mit $\frac{1}{4}$ .

Phasenverschiebung: $\frac{π}{5 \cdot 4}$

Schritt 5.4.2

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

Phasenverschiebung: $\frac{π}{20}$

Schritt 6

Liste die Eigenschaften der trigonometrischen Funktion auf.

Amplitude: Keine

Periode: $\frac{π}{2}$

Phasenverschiebung: $\frac{π}{20}$ ( $\frac{π}{20}$ nach rechts)

Vertikale Verschiebung: $1$

Schritt 7

Die trigonometrische Funktion kann mithilfe der Amplitude, Periode, Phasenverschiebung, vertikalen Verschiebung und den Punkten graphisch dargestellt werden.

Vertikale Asymptoten: $x = \frac{π}{20} + \frac{π n}{4}$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist

Amplitude: Keine

Periode: $\frac{π}{2}$

Phasenverschiebung: $\frac{π}{20}$ ( $\frac{π}{20}$ nach rechts)

Vertikale Verschiebung: $1$

Schritt 8