Trigonometrie Beispiele

$(9, \frac{π}{4})$

Schritt 1

Um den $\sin (θ)$ zwischen der x-Achse und der Geraden zwischen den Punkten $(0, 0)$ und $(9, \frac{π}{4})$ zu ermitteln, zeichne das Dreieck zwischen den drei Punkten $(0, 0)$ , $(9, 0)$ und $(9, \frac{π}{4})$ .

Gegenüberliegend : $\frac{π}{4}$

Ankathete : $9$

Schritt 2

Berechne die Hypotenuse unter Anwendung des Satzes von Pythagoras $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Potenziere $9$ mit $2$ .

$\sqrt{81 + {(\frac{π}{4})}^{2}}$

Schritt 2.2

Wende die Produktregel auf $\frac{π}{4}$ an.

$\sqrt{81 + \frac{π^{2}}{4^{2}}}$

Schritt 2.3

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\sqrt{81 + \frac{π^{2}}{16}}$

Schritt 2.4

Um $81$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{81 \cdot \frac{16}{16} + \frac{π^{2}}{16}}$

Schritt 2.5

Kombiniere $81$ und $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{81 \cdot 16}{16} + \frac{π^{2}}{16}}$

Schritt 2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.6.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{81 \cdot 16 + π^{2}}{16}}$

Schritt 2.6.2

Mutltipliziere $81$ mit $16$ .

$\sqrt{\frac{1296 + π^{2}}{16}}$

Schritt 2.7

Schreibe $\sqrt{\frac{1296 + π^{2}}{16}}$ als $\frac{\sqrt{1296 + π^{2}}}{\sqrt{16}}$ um.

$\frac{\sqrt{1296 + π^{2}}}{\sqrt{16}}$

Schritt 2.8

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.8.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{1296 + π^{2}}}{\sqrt{4^{2}}}$

Schritt 2.8.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{\sqrt{1296 + π^{2}}}{4}$

Schritt 3

Aus $\sin (θ) = \frac{Gegenüberliegend}{Hypotenuse}$ folgt $\sin (θ) = \frac{\frac{π}{4}}{\frac{\sqrt{1296 + π^{2}}}{4}}$ .

$\frac{\frac{π}{4}}{\frac{\sqrt{1296 + π^{2}}}{4}}$

Schritt 4

Vereinfache $\sin (θ)$ .

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Schritt 4.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\sin (θ) = \frac{π}{4} \cdot \frac{4}{\sqrt{1296 + π^{2}}}$

Schritt 4.2

Kombinieren.

$\sin (θ) = \frac{π \cdot 4}{4 \sqrt{1296 + π^{2}}}$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (θ) = \frac{π \cdot 4}{4 \sqrt{1296 + π^{2}}}$

Schritt 4.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (θ) = \frac{π}{\sqrt{1296 + π^{2}}}$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $\frac{π}{\sqrt{1296 + π^{2}}}$ mit $\frac{\sqrt{1296 + π^{2}}}{\sqrt{1296 + π^{2}}}$ .

$\sin (θ) = \frac{π}{\sqrt{1296 + π^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1296 + π^{2}}}{\sqrt{1296 + π^{2}}}$

Schritt 4.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $\frac{π}{\sqrt{1296 + π^{2}}}$ mit $\frac{\sqrt{1296 + π^{2}}}{\sqrt{1296 + π^{2}}}$ .

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{1296 + π^{2}}}{\sqrt{1296 + π^{2}} \sqrt{1296 + π^{2}}}$

Schritt 4.5.2

Potenziere $\sqrt{1296 + π^{2}}$ mit $1$ .

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{1296 + π^{2}}}{\sqrt{1296 + π^{2}} \sqrt{1296 + π^{2}}}$

Schritt 4.5.3

Potenziere $\sqrt{1296 + π^{2}}$ mit $1$ .

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{1296 + π^{2}}}{\sqrt{1296 + π^{2}} \sqrt{1296 + π^{2}}}$

Schritt 4.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{1296 + π^{2}}}{{\sqrt{1296 + π^{2}}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{1296 + π^{2}}}{{\sqrt{1296 + π^{2}}}^{2}}$

Schritt 4.5.6

Schreibe ${\sqrt{1296 + π^{2}}}^{2}$ als $1296 + π^{2}$ um.

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Schritt 4.5.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1296 + π^{2}}$ als ${(1296 + π^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{1296 + π^{2}}}{{({(1296 + π^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.5.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{1296 + π^{2}}}{{(1296 + π^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.5.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{1296 + π^{2}}}{{(1296 + π^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.5.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.5.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{1296 + π^{2}}}{{(1296 + π^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.5.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{1296 + π^{2}}}{1296 + π^{2}}$

Schritt 4.5.6.5

Vereinfache.

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{1296 + π^{2}}}{1296 + π^{2}}$

Schritt 5

Approximiere das Ergebnis.

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{1296 + π^{2}}}{1296 + π^{2}} \approx 0.08693606$