Trigonometrie Beispiele

$(- 8, 12)$

Schritt 1

Um den $\sin (θ)$ zwischen der x-Achse und der Geraden zwischen den Punkten $(0, 0)$ und $(- 8, 12)$ zu ermitteln, zeichne das Dreieck zwischen den drei Punkten $(0, 0)$ , $(- 8, 0)$ und $(- 8, 12)$ .

Gegenüberliegend : $12$

Ankathete : $- 8$

Schritt 2

Berechne die Hypotenuse unter Anwendung des Satzes von Pythagoras $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$\sqrt{64 + {(12)}^{2}}$

Schritt 2.2

Potenziere $12$ mit $2$ .

$\sqrt{64 + 144}$

Schritt 2.3

Addiere $64$ und $144$ .

$\sqrt{208}$

Schritt 2.4

Schreibe $208$ als $4^{2} \cdot 13$ um.

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Schritt 2.4.1

Faktorisiere $16$ aus $208$ heraus.

$\sqrt{16 (13)}$

Schritt 2.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\sqrt{4^{2} \cdot 13}$

Schritt 2.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$4 \sqrt{13}$

Schritt 3

Aus $\sin (θ) = \frac{Gegenüberliegend}{Hypotenuse}$ folgt $\sin (θ) = \frac{12}{4 \sqrt{13}}$ .

$\frac{12}{4 \sqrt{13}}$

Schritt 4

Vereinfache $\sin (θ)$ .

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $4$ .

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$\sin (θ) = \frac{4 \cdot 3}{4 \sqrt{13}}$

Schritt 4.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 \sqrt{13}$ heraus.

$\sin (θ) = \frac{4 \cdot 3}{4 (\sqrt{13})}$

Schritt 4.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (θ) = \frac{4 \cdot 3}{4 \sqrt{13}}$

Schritt 4.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sin (θ) = \frac{3}{\sqrt{13}}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{3}{\sqrt{13}}$ mit $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\sin (θ) = \frac{3}{\sqrt{13}} \cdot \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$

Schritt 4.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $\frac{3}{\sqrt{13}}$ mit $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\sin (θ) = \frac{3 \sqrt{13}}{\sqrt{13} \sqrt{13}}$

Schritt 4.3.2

Potenziere $\sqrt{13}$ mit $1$ .

$\sin (θ) = \frac{3 \sqrt{13}}{\sqrt{13} \sqrt{13}}$

Schritt 4.3.3

Potenziere $\sqrt{13}$ mit $1$ .

$\sin (θ) = \frac{3 \sqrt{13}}{\sqrt{13} \sqrt{13}}$

Schritt 4.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sin (θ) = \frac{3 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin (θ) = \frac{3 \sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{2}}$

Schritt 4.3.6

Schreibe ${\sqrt{13}}^{2}$ als $13$ um.

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Schritt 4.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{13}$ als $13^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sin (θ) = \frac{3 \sqrt{13}}{{(13^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = \frac{3 \sqrt{13}}{13^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sin (θ) = \frac{3 \sqrt{13}}{13^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (θ) = \frac{3 \sqrt{13}}{13^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (θ) = \frac{3 \sqrt{13}}{13}$

Schritt 4.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$\sin (θ) = \frac{3 \sqrt{13}}{13}$

Schritt 5

Approximiere das Ergebnis.

$\sin (θ) = \frac{3 \sqrt{13}}{13} \approx 0.83205029$