Trigonometrie Beispiele

$(5, - 4 \sqrt{5})$

Schritt 1

Um den $\sin (θ)$ zwischen der x-Achse und der Geraden zwischen den Punkten $(0, 0)$ und $(5, - 4 \sqrt{5})$ zu ermitteln, zeichne das Dreieck zwischen den drei Punkten $(0, 0)$ , $(5, 0)$ und $(5, - 4 \sqrt{5})$ .

Gegenüberliegend : $- 4 \sqrt{5}$

Ankathete : $5$

Schritt 2

Berechne die Hypotenuse unter Anwendung des Satzes von Pythagoras $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\sqrt{25 + {(- 4 \sqrt{5})}^{2}}$

Schritt 2.1.2

Wende die Produktregel auf $- 4 \sqrt{5}$ an.

$\sqrt{25 + {(- 4)}^{2} {\sqrt{5}}^{2}}$

Schritt 2.1.3

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$\sqrt{25 + 16 {\sqrt{5}}^{2}}$

Schritt 2.2

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 2.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{25 + 16 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{25 + 16 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{25 + 16 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{25 + 16 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{25 + 16 \cdot 5^{1}}$

Schritt 2.2.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{25 + 16 \cdot 5}$

Schritt 2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $16$ mit $5$ .

$\sqrt{25 + 80}$

Schritt 2.3.2

Addiere $25$ und $80$ .

$\sqrt{105}$

Schritt 3

Aus $\sin (θ) = \frac{Gegenüberliegend}{Hypotenuse}$ folgt $\sin (θ) = \frac{- 4 \sqrt{5}}{\sqrt{105}}$ .

$\frac{- 4 \sqrt{5}}{\sqrt{105}}$

Schritt 4

Vereinfache $\sin (θ)$ .

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Schritt 4.1

Vereinige $\sqrt{5}$ und $\sqrt{105}$ zu einer einzigen Wurzel.

$\sin (θ) = - 4 \sqrt{\frac{5}{105}}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $5$ und $105$ .

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$\sin (θ) = - 4 \sqrt{\frac{5 (1)}{105}}$

Schritt 4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.2.1

Faktorisiere $5$ aus $105$ heraus.

$\sin (θ) = - 4 \sqrt{\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 21}}$

Schritt 4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (θ) = - 4 \sqrt{\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 21}}$

Schritt 4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sin (θ) = - 4 \sqrt{\frac{1}{21}}$

Schritt 4.3

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{21}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{21}}$ um.

$\sin (θ) = - 4 \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{21}}$

Schritt 4.4

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\sin (θ) = - 4 \frac{1}{\sqrt{21}}$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{21}}$ mit $\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}}$ .

$\sin (θ) = - 4 (\frac{1}{\sqrt{21}} \cdot \frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}})$

Schritt 4.6

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.6.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{21}}$ mit $\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}}$ .

$\sin (θ) = - 4 \frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21} \sqrt{21}}$

Schritt 4.6.2

Potenziere $\sqrt{21}$ mit $1$ .

$\sin (θ) = - 4 \frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21} \sqrt{21}}$

Schritt 4.6.3

Potenziere $\sqrt{21}$ mit $1$ .

$\sin (θ) = - 4 \frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21} \sqrt{21}}$

Schritt 4.6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sin (θ) = - 4 \frac{\sqrt{21}}{{\sqrt{21}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.6.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin (θ) = - 4 \frac{\sqrt{21}}{{\sqrt{21}}^{2}}$

Schritt 4.6.6

Schreibe ${\sqrt{21}}^{2}$ als $21$ um.

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Schritt 4.6.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{21}$ als $21^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sin (θ) = - 4 \frac{\sqrt{21}}{{(21^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.6.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = - 4 \frac{\sqrt{21}}{21^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.6.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sin (θ) = - 4 \frac{\sqrt{21}}{21^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.6.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.6.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (θ) = - 4 \frac{\sqrt{21}}{21^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.6.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (θ) = - 4 \frac{\sqrt{21}}{21}$

Schritt 4.6.6.5

Berechne den Exponenten.

$\sin (θ) = - 4 \frac{\sqrt{21}}{21}$

Schritt 4.7

Kombiniere $- 4$ und $\frac{\sqrt{21}}{21}$ .

$\sin (θ) = \frac{- 4 \sqrt{21}}{21}$

Schritt 4.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sin (θ) = - \frac{4 \sqrt{21}}{21}$

Schritt 5

Approximiere das Ergebnis.

$\sin (θ) = - \frac{4 \sqrt{21}}{21} \approx - 0.87287156$