Trigonometrie Beispiele

$(6, \frac{21 π}{4})$

Schritt 1

Um den $\sin (θ)$ zwischen der x-Achse und der Geraden zwischen den Punkten $(0, 0)$ und $(6, \frac{21 π}{4})$ zu ermitteln, zeichne das Dreieck zwischen den drei Punkten $(0, 0)$ , $(6, 0)$ und $(6, \frac{21 π}{4})$ .

Gegenüberliegend : $\frac{21 π}{4}$

Ankathete : $6$

Schritt 2

Berechne die Hypotenuse unter Anwendung des Satzes von Pythagoras $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$\sqrt{36 + {(\frac{21 π}{4})}^{2}}$

Schritt 2.2

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{21 π}{4}$ an.

$\sqrt{36 + \frac{{(21 π)}^{2}}{4^{2}}}$

Schritt 2.2.2

Wende die Produktregel auf $21 π$ an.

$\sqrt{36 + \frac{21^{2} π^{2}}{4^{2}}}$

Schritt 2.3

Potenziere $21$ mit $2$ .

$\sqrt{36 + \frac{441 π^{2}}{4^{2}}}$

Schritt 2.4

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\sqrt{36 + \frac{441 π^{2}}{16}}$

Schritt 2.5

Um $36$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{36 \cdot \frac{16}{16} + \frac{441 π^{2}}{16}}$

Schritt 2.6

Kombiniere $36$ und $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{36 \cdot 16}{16} + \frac{441 π^{2}}{16}}$

Schritt 2.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.7.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{36 \cdot 16 + 441 π^{2}}{16}}$

Schritt 2.7.2

Mutltipliziere $36$ mit $16$ .

$\sqrt{\frac{576 + 441 π^{2}}{16}}$

Schritt 2.8

Schreibe $\sqrt{\frac{576 + 441 π^{2}}{16}}$ als $\frac{\sqrt{576 + 441 π^{2}}}{\sqrt{16}}$ um.

$\frac{\sqrt{576 + 441 π^{2}}}{\sqrt{16}}$

Schritt 2.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.9.1

Schreibe $576 + 441 π^{2}$ als $3^{2} (64 + 49 π^{2})$ um.

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Schritt 2.9.1.1

Faktorisiere $9$ aus $576$ heraus.

$\frac{\sqrt{9 (64) + 441 π^{2}}}{\sqrt{16}}$

Schritt 2.9.1.2

Faktorisiere $9$ aus $441 π^{2}$ heraus.

$\frac{\sqrt{9 (64) + 9 (49 π^{2})}}{\sqrt{16}}$

Schritt 2.9.1.3

Faktorisiere $9$ aus $9 (64) + 9 (49 π^{2})$ heraus.

$\frac{\sqrt{9 (64 + 49 π^{2})}}{\sqrt{16}}$

Schritt 2.9.1.4

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{3^{2} (64 + 49 π^{2})}}{\sqrt{16}}$

Schritt 2.9.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{3 \sqrt{64 + 49 π^{2}}}{\sqrt{16}}$

Schritt 2.10

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.10.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{3 \sqrt{64 + 49 π^{2}}}{\sqrt{4^{2}}}$

Schritt 2.10.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{3 \sqrt{64 + 49 π^{2}}}{4}$

Schritt 3

Aus $\sin (θ) = \frac{Gegenüberliegend}{Hypotenuse}$ folgt $\sin (θ) = \frac{\frac{21 π}{4}}{\frac{3 \sqrt{64 + 49 π^{2}}}{4}}$ .

$\frac{\frac{21 π}{4}}{\frac{3 \sqrt{64 + 49 π^{2}}}{4}}$

Schritt 4

Vereinfache $\sin (θ)$ .

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Schritt 4.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\sin (θ) = \frac{21 π}{4} \cdot \frac{4}{3 \sqrt{64 + 49 π^{2}}}$

Schritt 4.2

Kombinieren.

$\sin (θ) = \frac{21 π \cdot 4}{4 (3 \sqrt{64 + 49 π^{2}})}$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $21$ und $3$ .

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Schritt 4.3.1

Faktorisiere $3$ aus $21 π \cdot 4$ heraus.

$\sin (θ) = \frac{3 (7 π \cdot 4)}{4 (3 \sqrt{64 + 49 π^{2}})}$

Schritt 4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $4 (3 \sqrt{64 + 49 π^{2}})$ heraus.

$\sin (θ) = \frac{3 (7 π \cdot 4)}{3 (4 (\sqrt{64 + 49 π^{2}}))}$

Schritt 4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (θ) = \frac{3 (7 π \cdot 4)}{3 (4 (\sqrt{64 + 49 π^{2}}))}$

Schritt 4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sin (θ) = \frac{7 π \cdot 4}{4 (\sqrt{64 + 49 π^{2}})}$

Schritt 4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (θ) = \frac{7 π \cdot 4}{4 \sqrt{64 + 49 π^{2}}}$

Schritt 4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (θ) = \frac{7 π}{\sqrt{64 + 49 π^{2}}}$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $\frac{7 π}{\sqrt{64 + 49 π^{2}}}$ mit $\frac{\sqrt{64 + 49 π^{2}}}{\sqrt{64 + 49 π^{2}}}$ .

$\sin (θ) = \frac{7 π}{\sqrt{64 + 49 π^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{64 + 49 π^{2}}}{\sqrt{64 + 49 π^{2}}}$

Schritt 4.6

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.6.1

Mutltipliziere $\frac{7 π}{\sqrt{64 + 49 π^{2}}}$ mit $\frac{\sqrt{64 + 49 π^{2}}}{\sqrt{64 + 49 π^{2}}}$ .

$\sin (θ) = \frac{7 π \sqrt{64 + 49 π^{2}}}{\sqrt{64 + 49 π^{2}} \sqrt{64 + 49 π^{2}}}$

Schritt 4.6.2

Potenziere $\sqrt{64 + 49 π^{2}}$ mit $1$ .

$\sin (θ) = \frac{7 π \sqrt{64 + 49 π^{2}}}{\sqrt{64 + 49 π^{2}} \sqrt{64 + 49 π^{2}}}$

Schritt 4.6.3

Potenziere $\sqrt{64 + 49 π^{2}}$ mit $1$ .

$\sin (θ) = \frac{7 π \sqrt{64 + 49 π^{2}}}{\sqrt{64 + 49 π^{2}} \sqrt{64 + 49 π^{2}}}$

Schritt 4.6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sin (θ) = \frac{7 π \sqrt{64 + 49 π^{2}}}{{\sqrt{64 + 49 π^{2}}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.6.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin (θ) = \frac{7 π \sqrt{64 + 49 π^{2}}}{{\sqrt{64 + 49 π^{2}}}^{2}}$

Schritt 4.6.6

Schreibe ${\sqrt{64 + 49 π^{2}}}^{2}$ als $64 + 49 π^{2}$ um.

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Schritt 4.6.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{64 + 49 π^{2}}$ als ${(64 + 49 π^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sin (θ) = \frac{7 π \sqrt{64 + 49 π^{2}}}{{({(64 + 49 π^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.6.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = \frac{7 π \sqrt{64 + 49 π^{2}}}{{(64 + 49 π^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.6.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sin (θ) = \frac{7 π \sqrt{64 + 49 π^{2}}}{{(64 + 49 π^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.6.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.6.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (θ) = \frac{7 π \sqrt{64 + 49 π^{2}}}{{(64 + 49 π^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.6.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (θ) = \frac{7 π \sqrt{64 + 49 π^{2}}}{64 + 49 π^{2}}$

Schritt 4.6.6.5

Vereinfache.

$\sin (θ) = \frac{7 π \sqrt{64 + 49 π^{2}}}{64 + 49 π^{2}}$

Schritt 5

Approximiere das Ergebnis.

$\sin (θ) = \frac{7 π \sqrt{64 + 49 π^{2}}}{64 + 49 π^{2}} \approx 0.93974924$