Trigonometrie Beispiele

$(- 6, \sqrt{3})$

Schritt 1

Um den $\sin (θ)$ zwischen der x-Achse und der Geraden zwischen den Punkten $(0, 0)$ und $(- 6, \sqrt{3})$ zu ermitteln, zeichne das Dreieck zwischen den drei Punkten $(0, 0)$ , $(- 6, 0)$ und $(- 6, \sqrt{3})$ .

Gegenüberliegend : $\sqrt{3}$

Ankathete : $- 6$

Schritt 2

Berechne die Hypotenuse unter Anwendung des Satzes von Pythagoras $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$\sqrt{36 + {(\sqrt{3})}^{2}}$

Schritt 2.2

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 2.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{36 + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{36 + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{36 + 3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{36 + 3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{36 + 3^{1}}$

Schritt 2.2.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{36 + 3}$

Schritt 2.3

Addiere $36$ und $3$ .

$\sqrt{39}$

Schritt 3

Aus $\sin (θ) = \frac{Gegenüberliegend}{Hypotenuse}$ folgt $\sin (θ) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{39}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{39}}$

Schritt 4

Vereinfache $\sin (θ)$ .

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Schritt 4.1

Vereinige $\sqrt{3}$ und $\sqrt{39}$ zu einer einzigen Wurzel.

$\sin (θ) = \sqrt{\frac{3}{39}}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $39$ .

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\sin (θ) = \sqrt{\frac{3 (1)}{39}}$

Schritt 4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $39$ heraus.

$\sin (θ) = \sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 13}}$

Schritt 4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (θ) = \sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 13}}$

Schritt 4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sin (θ) = \sqrt{\frac{1}{13}}$

Schritt 4.3

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{13}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{13}}$ um.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{13}}$

Schritt 4.4

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\sin (θ) = \frac{1}{\sqrt{13}}$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{13}}$ mit $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\sin (θ) = \frac{1}{\sqrt{13}} \cdot \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$

Schritt 4.6

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.6.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{13}}$ mit $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13} \sqrt{13}}$

Schritt 4.6.2

Potenziere $\sqrt{13}$ mit $1$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13} \sqrt{13}}$

Schritt 4.6.3

Potenziere $\sqrt{13}$ mit $1$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13} \sqrt{13}}$

Schritt 4.6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.6.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{13}}{{\sqrt{13}}^{2}}$

Schritt 4.6.6

Schreibe ${\sqrt{13}}^{2}$ als $13$ um.

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Schritt 4.6.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{13}$ als $13^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{13}}{{(13^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.6.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{13}}{13^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.6.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{13}}{13^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.6.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.6.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{13}}{13^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.6.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{13}}{13}$

Schritt 4.6.6.5

Berechne den Exponenten.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{13}}{13}$

Schritt 5

Approximiere das Ergebnis.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{13}}{13} \approx 0.27735009$