Trigonometrie Beispiele

$(\frac{3}{4}, \frac{4}{5})$

Schritt 1

Um den $\cos (θ)$ zwischen der x-Achse und der Geraden zwischen den Punkten $(0, 0)$ und $(\frac{3}{4}, \frac{4}{5})$ zu ermitteln, zeichne das Dreieck zwischen den drei Punkten $(0, 0)$ , $(\frac{3}{4}, 0)$ und $(\frac{3}{4}, \frac{4}{5})$ .

Gegenüberliegend : $\frac{4}{5}$

Ankathete : $\frac{3}{4}$

Schritt 2

Berechne die Hypotenuse unter Anwendung des Satzes von Pythagoras $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{4}$ an.

$\sqrt{\frac{3^{2}}{4^{2}} + {(\frac{4}{5})}^{2}}$

Schritt 2.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{9}{4^{2}} + {(\frac{4}{5})}^{2}}$

Schritt 2.3

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{9}{16} + {(\frac{4}{5})}^{2}}$

Schritt 2.4

Wende die Produktregel auf $\frac{4}{5}$ an.

$\sqrt{\frac{9}{16} + \frac{4^{2}}{5^{2}}}$

Schritt 2.5

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{9}{16} + \frac{16}{5^{2}}}$

Schritt 2.6

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{9}{16} + \frac{16}{25}}$

Schritt 2.7

Um $\frac{9}{16}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{25}{25}$ .

$\sqrt{\frac{9}{16} \cdot \frac{25}{25} + \frac{16}{25}}$

Schritt 2.8

Um $\frac{16}{25}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{9}{16} \cdot \frac{25}{25} + \frac{16}{25} \cdot \frac{16}{16}}$

Schritt 2.9

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $400$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.9.1

Mutltipliziere $\frac{9}{16}$ mit $\frac{25}{25}$ .

$\sqrt{\frac{9 \cdot 25}{16 \cdot 25} + \frac{16}{25} \cdot \frac{16}{16}}$

Schritt 2.9.2

Mutltipliziere $16$ mit $25$ .

$\sqrt{\frac{9 \cdot 25}{400} + \frac{16}{25} \cdot \frac{16}{16}}$

Schritt 2.9.3

Mutltipliziere $\frac{16}{25}$ mit $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{9 \cdot 25}{400} + \frac{16 \cdot 16}{25 \cdot 16}}$

Schritt 2.9.4

Mutltipliziere $25$ mit $16$ .

$\sqrt{\frac{9 \cdot 25}{400} + \frac{16 \cdot 16}{400}}$

Schritt 2.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{9 \cdot 25 + 16 \cdot 16}{400}}$

Schritt 2.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.11.1

Mutltipliziere $9$ mit $25$ .

$\sqrt{\frac{225 + 16 \cdot 16}{400}}$

Schritt 2.11.2

Mutltipliziere $16$ mit $16$ .

$\sqrt{\frac{225 + 256}{400}}$

Schritt 2.11.3

Addiere $225$ und $256$ .

$\sqrt{\frac{481}{400}}$

Schritt 2.12

Schreibe $\sqrt{\frac{481}{400}}$ als $\frac{\sqrt{481}}{\sqrt{400}}$ um.

$\frac{\sqrt{481}}{\sqrt{400}}$

Schritt 2.13

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.13.1

Schreibe $400$ als $20^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{481}}{\sqrt{20^{2}}}$

Schritt 2.13.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{\sqrt{481}}{20}$

Schritt 3

Aus $\cos (θ) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}$ folgt $\cos (θ) = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{\sqrt{481}}{20}}$ .

$\frac{\frac{3}{4}}{\frac{\sqrt{481}}{20}}$

Schritt 4

Vereinfache $\cos (θ)$ .

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Schritt 4.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\cos (θ) = \frac{3}{4} \cdot \frac{20}{\sqrt{481}}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$\cos (θ) = \frac{3}{4} \cdot \frac{4 (5)}{\sqrt{481}}$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (θ) = \frac{3}{4} \cdot \frac{4 \cdot 5}{\sqrt{481}}$

Schritt 4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\cos (θ) = 3 (\frac{5}{\sqrt{481}})$

Schritt 4.3

Kombiniere $3$ und $\frac{5}{\sqrt{481}}$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \cdot 5}{\sqrt{481}}$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$\cos (θ) = \frac{15}{\sqrt{481}}$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $\frac{15}{\sqrt{481}}$ mit $\frac{\sqrt{481}}{\sqrt{481}}$ .

$\cos (θ) = \frac{15}{\sqrt{481}} \cdot \frac{\sqrt{481}}{\sqrt{481}}$

Schritt 4.6

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.6.1

Mutltipliziere $\frac{15}{\sqrt{481}}$ mit $\frac{\sqrt{481}}{\sqrt{481}}$ .

$\cos (θ) = \frac{15 \sqrt{481}}{\sqrt{481} \sqrt{481}}$

Schritt 4.6.2

Potenziere $\sqrt{481}$ mit $1$ .

$\cos (θ) = \frac{15 \sqrt{481}}{\sqrt{481} \sqrt{481}}$

Schritt 4.6.3

Potenziere $\sqrt{481}$ mit $1$ .

$\cos (θ) = \frac{15 \sqrt{481}}{\sqrt{481} \sqrt{481}}$

Schritt 4.6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos (θ) = \frac{15 \sqrt{481}}{{\sqrt{481}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.6.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos (θ) = \frac{15 \sqrt{481}}{{\sqrt{481}}^{2}}$

Schritt 4.6.6

Schreibe ${\sqrt{481}}^{2}$ als $481$ um.

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Schritt 4.6.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{481}$ als $481^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\cos (θ) = \frac{15 \sqrt{481}}{{(481^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.6.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = \frac{15 \sqrt{481}}{481^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.6.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\cos (θ) = \frac{15 \sqrt{481}}{481^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.6.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.6.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (θ) = \frac{15 \sqrt{481}}{481^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.6.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\cos (θ) = \frac{15 \sqrt{481}}{481}$

Schritt 4.6.6.5

Berechne den Exponenten.

$\cos (θ) = \frac{15 \sqrt{481}}{481}$

Schritt 5

Approximiere das Ergebnis.

$\cos (θ) = \frac{15 \sqrt{481}}{481} \approx 0.68394112$