Trigonometrie Beispiele

$(\frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{- 2}{\sqrt{5}})$

Schritt 1

Um den $\cos (θ)$ zwischen der x-Achse und der Geraden zwischen den Punkten $(0, 0)$ und $(\frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{- 2}{\sqrt{5}})$ zu ermitteln, zeichne das Dreieck zwischen den drei Punkten $(0, 0)$ , $(\frac{1}{\sqrt{5}}, 0)$ und $(\frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{- 2}{\sqrt{5}})$ .

Gegenüberliegend : $\frac{- 2}{\sqrt{5}}$

Ankathete : $\frac{1}{\sqrt{5}}$

Schritt 2

Berechne die Hypotenuse unter Anwendung des Satzes von Pythagoras $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\sqrt{{(\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})}^{2} + {(\frac{- 2}{\sqrt{5}})}^{2}}$

Schritt 2.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}})}^{2} + {(\frac{- 2}{\sqrt{5}})}^{2}}$

Schritt 2.2.2

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}})}^{2} + {(\frac{- 2}{\sqrt{5}})}^{2}}$

Schritt 2.2.3

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}})}^{2} + {(\frac{- 2}{\sqrt{5}})}^{2}}$

Schritt 2.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}})}^{2} + {(\frac{- 2}{\sqrt{5}})}^{2}}$

Schritt 2.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}})}^{2} + {(\frac{- 2}{\sqrt{5}})}^{2}}$

Schritt 2.2.6

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 2.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} + {(\frac{- 2}{\sqrt{5}})}^{2}}$

Schritt 2.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} + {(\frac{- 2}{\sqrt{5}})}^{2}}$

Schritt 2.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})}^{2} + {(\frac{- 2}{\sqrt{5}})}^{2}}$

Schritt 2.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})}^{2} + {(\frac{- 2}{\sqrt{5}})}^{2}}$

Schritt 2.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{5}}{5^{1}})}^{2} + {(\frac{- 2}{\sqrt{5}})}^{2}}$

Schritt 2.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{2} + {(\frac{- 2}{\sqrt{5}})}^{2}}$

Schritt 2.3

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{5}}{5}$ an.

$\sqrt{\frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}} + {(\frac{- 2}{\sqrt{5}})}^{2}}$

Schritt 2.4

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 2.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{\frac{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}} + {(\frac{- 2}{\sqrt{5}})}^{2}}$

Schritt 2.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}} + {(\frac{- 2}{\sqrt{5}})}^{2}}$

Schritt 2.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{\frac{5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} + {(\frac{- 2}{\sqrt{5}})}^{2}}$

Schritt 2.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} + {(\frac{- 2}{\sqrt{5}})}^{2}}$

Schritt 2.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{5^{1}}{5^{2}} + {(\frac{- 2}{\sqrt{5}})}^{2}}$

Schritt 2.4.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{\frac{5}{5^{2}} + {(\frac{- 2}{\sqrt{5}})}^{2}}$

Schritt 2.5

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{5}{25} + {(\frac{- 2}{\sqrt{5}})}^{2}}$

Schritt 2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $5$ und $25$ .

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Schritt 2.6.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$\sqrt{\frac{5 (1)}{25} + {(\frac{- 2}{\sqrt{5}})}^{2}}$

Schritt 2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.6.2.1

Faktorisiere $5$ aus $25$ heraus.

$\sqrt{\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5} + {(\frac{- 2}{\sqrt{5}})}^{2}}$

Schritt 2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5} + {(\frac{- 2}{\sqrt{5}})}^{2}}$

Schritt 2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{1}{5} + {(\frac{- 2}{\sqrt{5}})}^{2}}$

Schritt 2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sqrt{\frac{1}{5} + {(- \frac{2}{\sqrt{5}})}^{2}}$

Schritt 2.8

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\sqrt{\frac{1}{5} + {(- (\frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}))}^{2}}$

Schritt 2.9

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.9.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\sqrt{\frac{1}{5} + {(- \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}})}^{2}}$

Schritt 2.9.2

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\sqrt{\frac{1}{5} + {(- \frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}})}^{2}}$

Schritt 2.9.3

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\sqrt{\frac{1}{5} + {(- \frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}})}^{2}}$

Schritt 2.9.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sqrt{\frac{1}{5} + {(- \frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}})}^{2}}$

Schritt 2.9.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sqrt{\frac{1}{5} + {(- \frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}})}^{2}}$

Schritt 2.9.6

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 2.9.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{\frac{1}{5} + {(- \frac{2 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}}$

Schritt 2.9.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{1}{5} + {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}}$

Schritt 2.9.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{5} + {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})}^{2}}$

Schritt 2.9.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.9.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{1}{5} + {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})}^{2}}$

Schritt 2.9.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{1}{5} + {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5^{1}})}^{2}}$

Schritt 2.9.6.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{\frac{1}{5} + {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Schritt 2.10

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.10.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ an.

$\sqrt{\frac{1}{5} + {(- 1)}^{2} {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Schritt 2.10.2

Wende die Produktregel auf $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ an.

$\sqrt{\frac{1}{5} + {(- 1)}^{2} \frac{{(2 \sqrt{5})}^{2}}{5^{2}}}$

Schritt 2.10.3

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt{5}$ an.

$\sqrt{\frac{1}{5} + {(- 1)}^{2} \frac{2^{2} {\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}}$

Schritt 2.11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.11.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{5} + 1 \frac{2^{2} {\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}}$

Schritt 2.11.2

Mutltipliziere $\frac{2^{2} {\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}$ mit $1$ .

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{2^{2} {\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}}$

Schritt 2.12

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.12.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{4 {\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}}$

Schritt 2.12.2

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 2.12.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}}}$

Schritt 2.12.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}}}$

Schritt 2.12.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}}}$

Schritt 2.12.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.12.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}}}$

Schritt 2.12.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{4 \cdot 5^{1}}{5^{2}}}$

Schritt 2.12.2.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{4 \cdot 5}{5^{2}}}$

Schritt 2.13

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.13.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{4 \cdot 5}{25}}$

Schritt 2.13.2

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{20}{25}}$

Schritt 2.13.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $20$ und $25$ .

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Schritt 2.13.3.1

Faktorisiere $5$ aus $20$ heraus.

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{5 (4)}{25}}$

Schritt 2.13.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.13.3.2.1

Faktorisiere $5$ aus $25$ heraus.

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{5 \cdot 4}{5 \cdot 5}}$

Schritt 2.13.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{5 \cdot 4}{5 \cdot 5}}$

Schritt 2.13.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{4}{5}}$

Schritt 2.13.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.13.4.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{1 + 4}{5}}$

Schritt 2.13.4.2

Addiere $1$ und $4$ .

$\sqrt{\frac{5}{5}}$

Schritt 2.13.4.3

Dividiere $5$ durch $5$ .

$\sqrt{1}$

Schritt 2.13.4.4

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$1$

Schritt 3

Aus $\cos (θ) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}$ folgt $\cos (θ) = \frac{\frac{1}{\sqrt{5}}}{1}$ .

$\frac{\frac{1}{\sqrt{5}}}{1}$

Schritt 4

Vereinfache $\cos (θ)$ .

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Schritt 4.1

Dividiere $\frac{1}{\sqrt{5}}$ durch $1$ .

$\cos (θ) = \frac{1}{\sqrt{5}}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\cos (θ) = \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Schritt 4.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 4.3.2

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 4.3.3

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 4.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Schritt 4.3.6

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 4.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{5}}{5}$

Schritt 4.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{5}}{5}$

Schritt 5

Approximiere das Ergebnis.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{5}}{5} \approx 0.44721359$