Trigonometrie Beispiele

$(- \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2})$

Schritt 1

Um den $\cos (θ)$ zwischen der x-Achse und der Geraden zwischen den Punkten $(0, 0)$ und $(- \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2})$ zu ermitteln, zeichne das Dreieck zwischen den drei Punkten $(0, 0)$ , $(- \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}, 0)$ und $(- \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2})$ .

Gegenüberliegend : $\frac{1}{2}$

Ankathete : $- \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

Schritt 2

Berechne die Hypotenuse unter Anwendung des Satzes von Pythagoras $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sqrt{{(- (\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}))}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 2.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.2.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sqrt{{(- \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\sqrt{{(- \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\sqrt{{(- \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sqrt{{(- \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sqrt{{(- \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 2.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{{(- \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{{(- \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{{(- \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{{(- \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{{(- \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{{(- \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\sqrt{{(- \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\sqrt{{(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 2.4

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.4.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{\sqrt{6}}{2}$ an.

$\sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 2.4.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{6}}{2}$ an.

$\sqrt{{(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{6}}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.5.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\sqrt{1 \frac{{\sqrt{6}}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $\frac{{\sqrt{6}}^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$\sqrt{\frac{{\sqrt{6}}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 2.6

Schreibe ${\sqrt{6}}^{2}$ als $6$ um.

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Schritt 2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6}$ als $6^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{\frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{\frac{6^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{6^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{6^{1}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 2.6.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{\frac{6}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 2.7

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{6}{4} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 2.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $4$ .

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Schritt 2.8.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\sqrt{\frac{2 (3)}{4} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 2.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.8.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\sqrt{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 2.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 2.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{3}{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 2.9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.9.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$\sqrt{\frac{3}{2} + \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 2.9.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\sqrt{\frac{3}{2} + \frac{1}{2^{2}}}$

Schritt 2.9.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{3}{2} + \frac{1}{4}}$

Schritt 2.10

Um $\frac{3}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{4}}$

Schritt 2.11

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.11.1

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{1}{4}}$

Schritt 2.11.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{3 \cdot 2}{4} + \frac{1}{4}}$

Schritt 2.12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{3 \cdot 2 + 1}{4}}$

Schritt 2.13

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.13.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{6 + 1}{4}}$

Schritt 2.13.2

Addiere $6$ und $1$ .

$\sqrt{\frac{7}{4}}$

Schritt 2.14

Schreibe $\sqrt{\frac{7}{4}}$ als $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{4}}$ um.

$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{4}}$

Schritt 2.15

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.15.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 2.15.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{\sqrt{7}}{2}$

Schritt 3

Aus $\cos (θ) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}$ folgt $\cos (θ) = \frac{- \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}}{\frac{\sqrt{7}}{2}}$ .

$\frac{- \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}}{\frac{\sqrt{7}}{2}}$

Schritt 4

Vereinfache $\cos (θ)$ .

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Schritt 4.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

Schritt 4.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

Schritt 4.3.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

Schritt 4.3.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

Schritt 4.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

Schritt 4.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

Schritt 4.3.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 4.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

Schritt 4.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

Schritt 4.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

Schritt 4.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

Schritt 4.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

Schritt 4.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

Schritt 4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2}$ in den Zähler.

$\cos (θ) = \frac{- \sqrt{3} \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

Schritt 4.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (θ) = \frac{- \sqrt{3} \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

Schritt 4.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\cos (θ) = - \sqrt{3} \sqrt{2} \frac{1}{\sqrt{7}}$

Schritt 4.5

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\cos (θ) = - \sqrt{2 \cdot 3} \frac{1}{\sqrt{7}}$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\cos (θ) = - \sqrt{6} \frac{1}{\sqrt{7}}$

Schritt 4.7

Kombiniere $\frac{1}{\sqrt{7}}$ und $\sqrt{6}$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}}$

Schritt 4.8

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}}$ mit $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\cos (θ) = - (\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}})$

Schritt 4.9

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.9.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}}$ mit $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Schritt 4.9.2

Potenziere $\sqrt{7}$ mit $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Schritt 4.9.3

Potenziere $\sqrt{7}$ mit $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Schritt 4.9.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.9.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}$

Schritt 4.9.6

Schreibe ${\sqrt{7}}^{2}$ als $7$ um.

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Schritt 4.9.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{7}$ als $7^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.9.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.9.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.9.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.9.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.9.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{7}$

Schritt 4.9.6.5

Berechne den Exponenten.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{7}$

Schritt 4.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.10.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{6 \cdot 7}}{7}$

Schritt 4.10.2

Mutltipliziere $6$ mit $7$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{42}}{7}$

Schritt 5

Approximiere das Ergebnis.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{42}}{7} \approx - 0.92582009$