Trigonometrie Beispiele

$(\frac{- \sqrt{2}}{5}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 1

Um den $\cos (θ)$ zwischen der x-Achse und der Geraden zwischen den Punkten $(0, 0)$ und $(\frac{- \sqrt{2}}{5}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ zu ermitteln, zeichne das Dreieck zwischen den drei Punkten $(0, 0)$ , $(\frac{- \sqrt{2}}{5}, 0)$ und $(\frac{- \sqrt{2}}{5}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

Gegenüberliegend : $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Ankathete : $\frac{- \sqrt{2}}{5}$

Schritt 2

Berechne die Hypotenuse unter Anwendung des Satzes von Pythagoras $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sqrt{{(- \frac{\sqrt{2}}{5})}^{2} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Schritt 2.2

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.2.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{\sqrt{2}}{5}$ an.

$\sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2}}{5})}^{2} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{2}}{5}$ an.

$\sqrt{{(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{5^{2}} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Schritt 2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\sqrt{1 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{5^{2}} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{5^{2}}$ mit $1$ .

$\sqrt{\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{5^{2}} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Schritt 2.4

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 2.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Schritt 2.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Schritt 2.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{\frac{2^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Schritt 2.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{2^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Schritt 2.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{2^{1}}{5^{2}} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Schritt 2.4.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{\frac{2}{5^{2}} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Schritt 2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.5.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{2}{25} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Schritt 2.5.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{2}}{2}$ an.

$\sqrt{\frac{2}{25} + \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 2.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{\frac{2}{25} + \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{2}{25} + \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Schritt 2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{\frac{2}{25} + \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Schritt 2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{2}{25} + \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Schritt 2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{2}{25} + \frac{2^{1}}{2^{2}}}$

Schritt 2.6.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{\frac{2}{25} + \frac{2}{2^{2}}}$

Schritt 2.7

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{2}{25} + \frac{2}{4}}$

Schritt 2.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 2.8.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\sqrt{\frac{2}{25} + \frac{2 (1)}{4}}$

Schritt 2.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.8.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\sqrt{\frac{2}{25} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{2}{25} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{2}{25} + \frac{1}{2}}$

Schritt 2.9

Um $\frac{2}{25}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{2}{25} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}$

Schritt 2.10

Um $\frac{1}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{25}{25}$ .

$\sqrt{\frac{2}{25} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{25}{25}}$

Schritt 2.11

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $50$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.11.1

Mutltipliziere $\frac{2}{25}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{25 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{25}{25}}$

Schritt 2.11.2

Mutltipliziere $25$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{50} + \frac{1}{2} \cdot \frac{25}{25}}$

Schritt 2.11.3

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{25}{25}$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{50} + \frac{25}{2 \cdot 25}}$

Schritt 2.11.4

Mutltipliziere $2$ mit $25$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{50} + \frac{25}{50}}$

Schritt 2.12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{2 \cdot 2 + 25}{50}}$

Schritt 2.13

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.13.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{4 + 25}{50}}$

Schritt 2.13.2

Addiere $4$ und $25$ .

$\sqrt{\frac{29}{50}}$

Schritt 2.14

Schreibe $\sqrt{\frac{29}{50}}$ als $\frac{\sqrt{29}}{\sqrt{50}}$ um.

$\frac{\sqrt{29}}{\sqrt{50}}$

Schritt 2.15

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.15.1

Schreibe $50$ als $5^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 2.15.1.1

Faktorisiere $25$ aus $50$ heraus.

$\frac{\sqrt{29}}{\sqrt{25 (2)}}$

Schritt 2.15.1.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{29}}{\sqrt{5^{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.15.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{\sqrt{29}}{5 \sqrt{2}}$

Schritt 2.16

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{29}}{5 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{29}}{5 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 2.17

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.17.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{29}}{5 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{29} \sqrt{2}}{5 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 2.17.2

Bewege $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{29} \sqrt{2}}{5 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Schritt 2.17.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{29} \sqrt{2}}{5 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Schritt 2.17.4

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{29} \sqrt{2}}{5 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Schritt 2.17.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt{29} \sqrt{2}}{5 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 2.17.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sqrt{29} \sqrt{2}}{5 {\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 2.17.7

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 2.17.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{29} \sqrt{2}}{5 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.17.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{29} \sqrt{2}}{5 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.17.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{29} \sqrt{2}}{5 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.17.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.17.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{29} \sqrt{2}}{5 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.17.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{29} \sqrt{2}}{5 \cdot 2^{1}}$

Schritt 2.17.7.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\sqrt{29} \sqrt{2}}{5 \cdot 2}$

Schritt 2.18

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.18.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{29 \cdot 2}}{5 \cdot 2}$

Schritt 2.18.2

Mutltipliziere $29$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{58}}{5 \cdot 2}$

Schritt 2.19

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{58}}{10}$

Schritt 3

Aus $\cos (θ) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}$ folgt $\cos (θ) = \frac{\frac{- \sqrt{2}}{5}}{\frac{\sqrt{58}}{10}}$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{2}}{5}}{\frac{\sqrt{58}}{10}}$

Schritt 4

Vereinfache $\cos (θ)$ .

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Schritt 4.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\cos (θ) = \frac{- \sqrt{2}}{5} \cdot \frac{10}{\sqrt{58}}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $5$ aus $10$ heraus.

$\cos (θ) = \frac{- \sqrt{2}}{5} \cdot \frac{5 (2)}{\sqrt{58}}$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (θ) = \frac{- \sqrt{2}}{5} \cdot \frac{5 \cdot 2}{\sqrt{58}}$

Schritt 4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\cos (θ) = - \sqrt{2} \frac{2}{\sqrt{58}}$

Schritt 4.3

Kombiniere $\frac{2}{\sqrt{58}}$ und $\sqrt{2}$ .

$\cos (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{58}}$

Schritt 4.4

Vereinige $\sqrt{2}$ und $\sqrt{58}$ zu einer einzigen Wurzel.

$\cos (θ) = - (2 \sqrt{\frac{2}{58}})$

Schritt 4.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $58$ .

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Schritt 4.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\cos (θ) = - (2 \sqrt{\frac{2 (1)}{58}})$

Schritt 4.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $58$ heraus.

$\cos (θ) = - (2 \sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 29}})$

Schritt 4.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (θ) = - (2 \sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 29}})$

Schritt 4.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\cos (θ) = - (2 \sqrt{\frac{1}{29}})$

Schritt 4.6

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{29}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{29}}$ um.

$\cos (θ) = - (2 (\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{29}}))$

Schritt 4.7

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\cos (θ) = - (2 (\frac{1}{\sqrt{29}}))$

Schritt 4.8

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{29}}$ mit $\frac{\sqrt{29}}{\sqrt{29}}$ .

$\cos (θ) = - (2 (\frac{1}{\sqrt{29}} \cdot \frac{\sqrt{29}}{\sqrt{29}}))$

Schritt 4.9

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.9.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{29}}$ mit $\frac{\sqrt{29}}{\sqrt{29}}$ .

$\cos (θ) = - (2 (\frac{\sqrt{29}}{\sqrt{29} \sqrt{29}}))$

Schritt 4.9.2

Potenziere $\sqrt{29}$ mit $1$ .

$\cos (θ) = - (2 (\frac{\sqrt{29}}{\sqrt{29} \sqrt{29}}))$

Schritt 4.9.3

Potenziere $\sqrt{29}$ mit $1$ .

$\cos (θ) = - (2 (\frac{\sqrt{29}}{\sqrt{29} \sqrt{29}}))$

Schritt 4.9.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos (θ) = - (2 (\frac{\sqrt{29}}{{\sqrt{29}}^{1 + 1}}))$

Schritt 4.9.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos (θ) = - (2 (\frac{\sqrt{29}}{{\sqrt{29}}^{2}}))$

Schritt 4.9.6

Schreibe ${\sqrt{29}}^{2}$ als $29$ um.

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Schritt 4.9.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{29}$ als $29^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\cos (θ) = - (2 (\frac{\sqrt{29}}{{(29^{\frac{1}{2}})}^{2}}))$

Schritt 4.9.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = - (2 (\frac{\sqrt{29}}{29^{\frac{1}{2} \cdot 2}}))$

Schritt 4.9.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\cos (θ) = - (2 (\frac{\sqrt{29}}{29^{\frac{2}{2}}}))$

Schritt 4.9.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.9.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (θ) = - (2 (\frac{\sqrt{29}}{29^{\frac{2}{2}}}))$

Schritt 4.9.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\cos (θ) = - (2 (\frac{\sqrt{29}}{29}))$

Schritt 4.9.6.5

Berechne den Exponenten.

$\cos (θ) = - (2 (\frac{\sqrt{29}}{29}))$

Schritt 4.10

Kombiniere $2$ und $\frac{\sqrt{29}}{29}$ .

$\cos (θ) = - \frac{2 \sqrt{29}}{29}$

Schritt 5

Approximiere das Ergebnis.

$\cos (θ) = - \frac{2 \sqrt{29}}{29} \approx - 0.37139067$