Trigonometrie Beispiele

$(- 10, 10 \sqrt{3})$

Schritt 1

Um den $\cos (θ)$ zwischen der x-Achse und der Geraden zwischen den Punkten $(0, 0)$ und $(- 10, 10 \sqrt{3})$ zu ermitteln, zeichne das Dreieck zwischen den drei Punkten $(0, 0)$ , $(- 10, 0)$ und $(- 10, 10 \sqrt{3})$ .

Gegenüberliegend : $10 \sqrt{3}$

Ankathete : $- 10$

Schritt 2

Berechne die Hypotenuse unter Anwendung des Satzes von Pythagoras $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.1

Potenziere $- 10$ mit $2$ .

$\sqrt{100 + {(10 \sqrt{3})}^{2}}$

Schritt 2.1.2

Wende die Produktregel auf $10 \sqrt{3}$ an.

$\sqrt{100 + 10^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 2.1.3

Potenziere $10$ mit $2$ .

$\sqrt{100 + 100 {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 2.2

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 2.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{100 + 100 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{100 + 100 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{100 + 100 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{100 + 100 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{100 + 100 \cdot 3^{1}}$

Schritt 2.2.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{100 + 100 \cdot 3}$

Schritt 2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $100$ mit $3$ .

$\sqrt{100 + 300}$

Schritt 2.3.2

Addiere $100$ und $300$ .

$\sqrt{400}$

Schritt 2.3.3

Schreibe $400$ als $20^{2}$ um.

$\sqrt{20^{2}}$

Schritt 2.3.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$20$

Schritt 3

Aus $\cos (θ) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}$ folgt $\cos (θ) = \frac{- 10}{20}$ .

$\frac{- 10}{20}$

Schritt 4

Vereinfache $\cos (θ)$ .

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 10$ und $20$ .

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $10$ aus $- 10$ heraus.

$\cos (θ) = \frac{10 (- 1)}{20}$

Schritt 4.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.2.1

Faktorisiere $10$ aus $20$ heraus.

$\cos (θ) = \frac{10 \cdot - 1}{10 \cdot 2}$

Schritt 4.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (θ) = \frac{10 \cdot - 1}{10 \cdot 2}$

Schritt 4.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\cos (θ) = \frac{- 1}{2}$

Schritt 4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\cos (θ) = - \frac{1}{2}$

Schritt 5

Approximiere das Ergebnis.

$\cos (θ) = - \frac{1}{2} \approx - 0.5$