Trigonometrie Beispiele

$(- 2, \frac{π}{6})$

Schritt 1

Um den $\cos (θ)$ zwischen der x-Achse und der Geraden zwischen den Punkten $(0, 0)$ und $(- 2, \frac{π}{6})$ zu ermitteln, zeichne das Dreieck zwischen den drei Punkten $(0, 0)$ , $(- 2, 0)$ und $(- 2, \frac{π}{6})$ .

Gegenüberliegend : $\frac{π}{6}$

Ankathete : $- 2$

Schritt 2

Berechne die Hypotenuse unter Anwendung des Satzes von Pythagoras $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$\sqrt{4 + {(\frac{π}{6})}^{2}}$

Schritt 2.2

Wende die Produktregel auf $\frac{π}{6}$ an.

$\sqrt{4 + \frac{π^{2}}{6^{2}}}$

Schritt 2.3

Potenziere $6$ mit $2$ .

$\sqrt{4 + \frac{π^{2}}{36}}$

Schritt 2.4

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{36}{36}$ .

$\sqrt{4 \cdot \frac{36}{36} + \frac{π^{2}}{36}}$

Schritt 2.5

Kombiniere $4$ und $\frac{36}{36}$ .

$\sqrt{\frac{4 \cdot 36}{36} + \frac{π^{2}}{36}}$

Schritt 2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.6.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{4 \cdot 36 + π^{2}}{36}}$

Schritt 2.6.2

Mutltipliziere $4$ mit $36$ .

$\sqrt{\frac{144 + π^{2}}{36}}$

Schritt 2.7

Schreibe $\sqrt{\frac{144 + π^{2}}{36}}$ als $\frac{\sqrt{144 + π^{2}}}{\sqrt{36}}$ um.

$\frac{\sqrt{144 + π^{2}}}{\sqrt{36}}$

Schritt 2.8

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.8.1

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{144 + π^{2}}}{\sqrt{6^{2}}}$

Schritt 2.8.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{\sqrt{144 + π^{2}}}{6}$

Schritt 3

Aus $\cos (θ) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}$ folgt $\cos (θ) = \frac{- 2}{\frac{\sqrt{144 + π^{2}}}{6}}$ .

$\frac{- 2}{\frac{\sqrt{144 + π^{2}}}{6}}$

Schritt 4

Vereinfache $\cos (θ)$ .

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Schritt 4.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\cos (θ) = - 2 \frac{6}{\sqrt{144 + π^{2}}}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{6}{\sqrt{144 + π^{2}}}$ mit $\frac{\sqrt{144 + π^{2}}}{\sqrt{144 + π^{2}}}$ .

$\cos (θ) = - 2 (\frac{6}{\sqrt{144 + π^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{144 + π^{2}}}{\sqrt{144 + π^{2}}})$

Schritt 4.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $\frac{6}{\sqrt{144 + π^{2}}}$ mit $\frac{\sqrt{144 + π^{2}}}{\sqrt{144 + π^{2}}}$ .

$\cos (θ) = - 2 \frac{6 \sqrt{144 + π^{2}}}{\sqrt{144 + π^{2}} \sqrt{144 + π^{2}}}$

Schritt 4.3.2

Potenziere $\sqrt{144 + π^{2}}$ mit $1$ .

$\cos (θ) = - 2 \frac{6 \sqrt{144 + π^{2}}}{\sqrt{144 + π^{2}} \sqrt{144 + π^{2}}}$

Schritt 4.3.3

Potenziere $\sqrt{144 + π^{2}}$ mit $1$ .

$\cos (θ) = - 2 \frac{6 \sqrt{144 + π^{2}}}{\sqrt{144 + π^{2}} \sqrt{144 + π^{2}}}$

Schritt 4.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos (θ) = - 2 \frac{6 \sqrt{144 + π^{2}}}{{\sqrt{144 + π^{2}}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos (θ) = - 2 \frac{6 \sqrt{144 + π^{2}}}{{\sqrt{144 + π^{2}}}^{2}}$

Schritt 4.3.6

Schreibe ${\sqrt{144 + π^{2}}}^{2}$ als $144 + π^{2}$ um.

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Schritt 4.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{144 + π^{2}}$ als ${(144 + π^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\cos (θ) = - 2 \frac{6 \sqrt{144 + π^{2}}}{{({(144 + π^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = - 2 \frac{6 \sqrt{144 + π^{2}}}{{(144 + π^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\cos (θ) = - 2 \frac{6 \sqrt{144 + π^{2}}}{{(144 + π^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (θ) = - 2 \frac{6 \sqrt{144 + π^{2}}}{{(144 + π^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\cos (θ) = - 2 \frac{6 \sqrt{144 + π^{2}}}{144 + π^{2}}$

Schritt 4.3.6.5

Vereinfache.

$\cos (θ) = - 2 \frac{6 \sqrt{144 + π^{2}}}{144 + π^{2}}$

Schritt 4.4

Multipliziere $- 2 \frac{6 \sqrt{144 + π^{2}}}{144 + π^{2}}$ .

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Schritt 4.4.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{6 \sqrt{144 + π^{2}}}{144 + π^{2}}$ .

$\cos (θ) = \frac{- 2 (6 \sqrt{144 + π^{2}})}{144 + π^{2}}$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $6$ mit $- 2$ .

$\cos (θ) = \frac{- 12 \sqrt{144 + π^{2}}}{144 + π^{2}}$

Schritt 4.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\cos (θ) = - \frac{12 \sqrt{144 + π^{2}}}{144 + π^{2}}$

Schritt 5

Approximiere das Ergebnis.

$\cos (θ) = - \frac{12 \sqrt{144 + π^{2}}}{144 + π^{2}} \approx - 0.9673972$