Trigonometrie Beispiele

$(\sqrt{3}, \sqrt{5})$

Schritt 1

Um den $\cos (θ)$ zwischen der x-Achse und der Geraden zwischen den Punkten $(0, 0)$ und $(\sqrt{3}, \sqrt{5})$ zu ermitteln, zeichne das Dreieck zwischen den drei Punkten $(0, 0)$ , $(\sqrt{3}, 0)$ und $(\sqrt{3}, \sqrt{5})$ .

Gegenüberliegend : $\sqrt{5}$

Ankathete : $\sqrt{3}$

Schritt 2

Berechne die Hypotenuse unter Anwendung des Satzes von Pythagoras $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Schritt 2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Schritt 2.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{3^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Schritt 2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{3^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{3^{1} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Schritt 2.1.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{3 + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Schritt 2.2

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{3 + {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{3 + 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{3 + 5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{3 + 5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{3 + 5^{1}}$

Schritt 2.2.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{3 + 5}$

Schritt 2.3

Addiere $3$ und $5$ .

$\sqrt{8}$

Schritt 2.4

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\sqrt{4 (2)}$

Schritt 2.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Schritt 2.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$2 \sqrt{2}$

Schritt 3

Aus $\cos (θ) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}$ folgt $\cos (θ) = \frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 4

Vereinfache $\cos (θ)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 4.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 4.2.2

Bewege $\sqrt{2}$ .

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Schritt 4.2.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Schritt 4.2.4

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Schritt 4.2.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.2.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 4.2.7

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.2.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.2.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.2.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.2.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.2.7.5

Berechne den Exponenten.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{6}}{4}$

Schritt 5

Approximiere das Ergebnis.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{6}}{4} \approx 0.61237243$