Trigonometrie Beispiele

$(\frac{1}{8}, \frac{1}{6})$

Schritt 1

Um den $\cos (θ)$ zwischen der x-Achse und der Geraden zwischen den Punkten $(0, 0)$ und $(\frac{1}{8}, \frac{1}{6})$ zu ermitteln, zeichne das Dreieck zwischen den drei Punkten $(0, 0)$ , $(\frac{1}{8}, 0)$ und $(\frac{1}{8}, \frac{1}{6})$ .

Gegenüberliegend : $\frac{1}{6}$

Ankathete : $\frac{1}{8}$

Schritt 2

Berechne die Hypotenuse unter Anwendung des Satzes von Pythagoras $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{8}$ an.

$\sqrt{\frac{1^{2}}{8^{2}} + {(\frac{1}{6})}^{2}}$

Schritt 2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\sqrt{\frac{1}{8^{2}} + {(\frac{1}{6})}^{2}}$

Schritt 2.3

Potenziere $8$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{64} + {(\frac{1}{6})}^{2}}$

Schritt 2.4

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{6}$ an.

$\sqrt{\frac{1}{64} + \frac{1^{2}}{6^{2}}}$

Schritt 2.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\sqrt{\frac{1}{64} + \frac{1}{6^{2}}}$

Schritt 2.6

Potenziere $6$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{64} + \frac{1}{36}}$

Schritt 2.7

Um $\frac{1}{64}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{1}{64} \cdot \frac{9}{9} + \frac{1}{36}}$

Schritt 2.8

Um $\frac{1}{36}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{1}{64} \cdot \frac{9}{9} + \frac{1}{36} \cdot \frac{16}{16}}$

Schritt 2.9

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $576$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.9.1

Mutltipliziere $\frac{1}{64}$ mit $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{9}{64 \cdot 9} + \frac{1}{36} \cdot \frac{16}{16}}$

Schritt 2.9.2

Mutltipliziere $64$ mit $9$ .

$\sqrt{\frac{9}{576} + \frac{1}{36} \cdot \frac{16}{16}}$

Schritt 2.9.3

Mutltipliziere $\frac{1}{36}$ mit $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{9}{576} + \frac{16}{36 \cdot 16}}$

Schritt 2.9.4

Mutltipliziere $36$ mit $16$ .

$\sqrt{\frac{9}{576} + \frac{16}{576}}$

Schritt 2.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{9 + 16}{576}}$

Schritt 2.11

Addiere $9$ und $16$ .

$\sqrt{\frac{25}{576}}$

Schritt 2.12

Schreibe $\sqrt{\frac{25}{576}}$ als $\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{576}}$ um.

$\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{576}}$

Schritt 2.13

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.13.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{576}}$

Schritt 2.13.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{5}{\sqrt{576}}$

Schritt 2.14

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.14.1

Schreibe $576$ als $24^{2}$ um.

$\frac{5}{\sqrt{24^{2}}}$

Schritt 2.14.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{5}{24}$

Schritt 3

Aus $\cos (θ) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}$ folgt $\cos (θ) = \frac{\frac{1}{8}}{\frac{5}{24}}$ .

$\frac{\frac{1}{8}}{\frac{5}{24}}$

Schritt 4

Vereinfache $\cos (θ)$ .

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Schritt 4.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\cos (θ) = \frac{1}{8} \cdot \frac{24}{5}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $8$ aus $24$ heraus.

$\cos (θ) = \frac{1}{8} \cdot \frac{8 (3)}{5}$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (θ) = \frac{1}{8} \cdot \frac{8 \cdot 3}{5}$

Schritt 4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\cos (θ) = \frac{3}{5}$

Schritt 5

Approximiere das Ergebnis.

$\cos (θ) = \frac{3}{5} \approx 0.6$