Trigonometrie Beispiele

$(1, \frac{π}{3})$

Schritt 1

Um den $\cos (θ)$ zwischen der x-Achse und der Geraden zwischen den Punkten $(0, 0)$ und $(1, \frac{π}{3})$ zu ermitteln, zeichne das Dreieck zwischen den drei Punkten $(0, 0)$ , $(1, 0)$ und $(1, \frac{π}{3})$ .

Gegenüberliegend : $\frac{π}{3}$

Ankathete : $1$

Schritt 2

Berechne die Hypotenuse unter Anwendung des Satzes von Pythagoras $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\sqrt{1 + {(\frac{π}{3})}^{2}}$

Schritt 2.2

Wende die Produktregel auf $\frac{π}{3}$ an.

$\sqrt{1 + \frac{π^{2}}{3^{2}}}$

Schritt 2.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\sqrt{1 + \frac{π^{2}}{9}}$

Schritt 2.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{9}{9} + \frac{π^{2}}{9}}$

Schritt 2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{9 + π^{2}}{9}}$

Schritt 2.6

Schreibe $\sqrt{\frac{9 + π^{2}}{9}}$ als $\frac{\sqrt{9 + π^{2}}}{\sqrt{9}}$ um.

$\frac{\sqrt{9 + π^{2}}}{\sqrt{9}}$

Schritt 2.7

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.7.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{9 + π^{2}}}{\sqrt{3^{2}}}$

Schritt 2.7.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{\sqrt{9 + π^{2}}}{3}$

Schritt 3

Aus $\cos (θ) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}$ folgt $\cos (θ) = \frac{1}{\frac{\sqrt{9 + π^{2}}}{3}}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{9 + π^{2}}}{3}}$

Schritt 4

Vereinfache $\cos (θ)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\cos (θ) = 1 (\frac{3}{\sqrt{9 + π^{2}}})$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{3}{\sqrt{9 + π^{2}}}$ mit $1$ .

$\cos (θ) = \frac{3}{\sqrt{9 + π^{2}}}$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $\frac{3}{\sqrt{9 + π^{2}}}$ mit $\frac{\sqrt{9 + π^{2}}}{\sqrt{9 + π^{2}}}$ .

$\cos (θ) = \frac{3}{\sqrt{9 + π^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{9 + π^{2}}}{\sqrt{9 + π^{2}}}$

Schritt 4.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.1

Mutltipliziere $\frac{3}{\sqrt{9 + π^{2}}}$ mit $\frac{\sqrt{9 + π^{2}}}{\sqrt{9 + π^{2}}}$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{9 + π^{2}}}{\sqrt{9 + π^{2}} \sqrt{9 + π^{2}}}$

Schritt 4.4.2

Potenziere $\sqrt{9 + π^{2}}$ mit $1$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{9 + π^{2}}}{\sqrt{9 + π^{2}} \sqrt{9 + π^{2}}}$

Schritt 4.4.3

Potenziere $\sqrt{9 + π^{2}}$ mit $1$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{9 + π^{2}}}{\sqrt{9 + π^{2}} \sqrt{9 + π^{2}}}$

Schritt 4.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{9 + π^{2}}}{{\sqrt{9 + π^{2}}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{9 + π^{2}}}{{\sqrt{9 + π^{2}}}^{2}}$

Schritt 4.4.6

Schreibe ${\sqrt{9 + π^{2}}}^{2}$ als $9 + π^{2}$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{9 + π^{2}}$ als ${(9 + π^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{9 + π^{2}}}{{({(9 + π^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{9 + π^{2}}}{{(9 + π^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{9 + π^{2}}}{{(9 + π^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{9 + π^{2}}}{{(9 + π^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{9 + π^{2}}}{9 + π^{2}}$

Schritt 4.4.6.5

Vereinfache.

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{9 + π^{2}}}{9 + π^{2}}$

Schritt 5

Approximiere das Ergebnis.

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{9 + π^{2}}}{9 + π^{2}} \approx 0.69062112$