Trigonometrie Beispiele

$(- 2, \frac{3}{4} p)$

Schritt 1

Um den $\sin (θ)$ zwischen der x-Achse und der Geraden zwischen den Punkten $(0, 0)$ und $(- 2, \frac{3}{4} p)$ zu ermitteln, zeichne das Dreieck zwischen den drei Punkten $(0, 0)$ , $(- 2, 0)$ und $(- 2, \frac{3}{4} p)$ .

Gegenüberliegend : $\frac{3}{4} p$

Ankathete : $- 2$

Schritt 2

Berechne die Hypotenuse unter Anwendung des Satzes von Pythagoras $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$\sqrt{4 + {(\frac{3}{4} p)}^{2}}$

Schritt 2.2

Kombiniere $\frac{3}{4}$ und $p$ .

$\sqrt{4 + {(\frac{3 p}{4})}^{2}}$

Schritt 2.3

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.3.1

Wende die Produktregel auf $\frac{3 p}{4}$ an.

$\sqrt{4 + \frac{{(3 p)}^{2}}{4^{2}}}$

Schritt 2.3.2

Wende die Produktregel auf $3 p$ an.

$\sqrt{4 + \frac{3^{2} p^{2}}{4^{2}}}$

Schritt 2.4

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\sqrt{4 + \frac{9 p^{2}}{4^{2}}}$

Schritt 2.5

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\sqrt{4 + \frac{9 p^{2}}{16}}$

Schritt 2.6

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{4 \cdot \frac{16}{16} + \frac{9 p^{2}}{16}}$

Schritt 2.7

Kombiniere $4$ und $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{4 \cdot 16}{16} + \frac{9 p^{2}}{16}}$

Schritt 2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{4 \cdot 16 + 9 p^{2}}{16}}$

Schritt 2.9

Mutltipliziere $4$ mit $16$ .

$\sqrt{\frac{64 + 9 p^{2}}{16}}$

Schritt 2.10

Schreibe $\frac{64 + 9 p^{2}}{16}$ als ${(\frac{1}{4})}^{2} (64 + 9 p^{2})$ um.

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Schritt 2.10.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $64 + 9 p^{2}$ heraus.

$\sqrt{\frac{1^{2} (64 + 9 p^{2})}{16}}$

Schritt 2.10.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $4^{2}$ aus $16$ heraus.

$\sqrt{\frac{1^{2} (64 + 9 p^{2})}{4^{2} \cdot 1}}$

Schritt 2.10.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} (64 + 9 p^{2})}{4^{2} \cdot 1}$ um.

$\sqrt{{(\frac{1}{4})}^{2} (64 + 9 p^{2})}$

Schritt 2.11

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{1}{4} \sqrt{64 + 9 p^{2}}$

Schritt 2.12

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $\sqrt{64 + 9 p^{2}}$ .

$\frac{\sqrt{64 + 9 p^{2}}}{4}$

Schritt 3

Aus $\sin (θ) = \frac{Gegenüberliegend}{Hypotenuse}$ folgt $\sin (θ) = \frac{\frac{3}{4} p}{\frac{\sqrt{64 + 9 p^{2}}}{4}}$ .

$\frac{\frac{3}{4} p}{\frac{\sqrt{64 + 9 p^{2}}}{4}}$

Schritt 4

Vereinfache $\sin (θ)$ .

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Schritt 4.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\sin (θ) = \frac{3}{4} \cdot (p (\frac{4}{\sqrt{64 + 9 p^{2}}}))$

Schritt 4.2

Kombiniere $\frac{3}{4}$ und $p$ .

$\sin (θ) = \frac{3 p}{4} \cdot \frac{4}{\sqrt{64 + 9 p^{2}}}$

Schritt 4.3

Kombinieren.

$\sin (θ) = \frac{3 p \cdot 4}{4 \sqrt{64 + 9 p^{2}}}$

Schritt 4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (θ) = \frac{3 p \cdot 4}{4 \sqrt{64 + 9 p^{2}}}$

Schritt 4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (θ) = \frac{3 p}{\sqrt{64 + 9 p^{2}}}$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $\frac{3 p}{\sqrt{64 + 9 p^{2}}}$ mit $\frac{\sqrt{64 + 9 p^{2}}}{\sqrt{64 + 9 p^{2}}}$ .

$\sin (θ) = \frac{3 p}{\sqrt{64 + 9 p^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{64 + 9 p^{2}}}{\sqrt{64 + 9 p^{2}}}$

Schritt 4.6

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.6.1

Mutltipliziere $\frac{3 p}{\sqrt{64 + 9 p^{2}}}$ mit $\frac{\sqrt{64 + 9 p^{2}}}{\sqrt{64 + 9 p^{2}}}$ .

$\sin (θ) = \frac{3 p \sqrt{64 + 9 p^{2}}}{\sqrt{64 + 9 p^{2}} \sqrt{64 + 9 p^{2}}}$

Schritt 4.6.2

Potenziere $\sqrt{64 + 9 p^{2}}$ mit $1$ .

$\sin (θ) = \frac{3 p \sqrt{64 + 9 p^{2}}}{\sqrt{64 + 9 p^{2}} \sqrt{64 + 9 p^{2}}}$

Schritt 4.6.3

Potenziere $\sqrt{64 + 9 p^{2}}$ mit $1$ .

$\sin (θ) = \frac{3 p \sqrt{64 + 9 p^{2}}}{\sqrt{64 + 9 p^{2}} \sqrt{64 + 9 p^{2}}}$

Schritt 4.6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sin (θ) = \frac{3 p \sqrt{64 + 9 p^{2}}}{{\sqrt{64 + 9 p^{2}}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.6.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin (θ) = \frac{3 p \sqrt{64 + 9 p^{2}}}{{\sqrt{64 + 9 p^{2}}}^{2}}$

Schritt 4.6.6

Schreibe ${\sqrt{64 + 9 p^{2}}}^{2}$ als $64 + 9 p^{2}$ um.

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Schritt 4.6.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{64 + 9 p^{2}}$ als ${(64 + 9 p^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sin (θ) = \frac{3 p \sqrt{64 + 9 p^{2}}}{{({(64 + 9 p^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.6.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = \frac{3 p \sqrt{64 + 9 p^{2}}}{{(64 + 9 p^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.6.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sin (θ) = \frac{3 p \sqrt{64 + 9 p^{2}}}{{(64 + 9 p^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.6.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.6.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (θ) = \frac{3 p \sqrt{64 + 9 p^{2}}}{{(64 + 9 p^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.6.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (θ) = \frac{3 p \sqrt{64 + 9 p^{2}}}{64 + 9 p^{2}}$

Schritt 4.6.6.5

Vereinfache.

$\sin (θ) = \frac{3 p \sqrt{64 + 9 p^{2}}}{64 + 9 p^{2}}$

Schritt 5

Approximiere das Ergebnis.

$\sin (θ) = \frac{3 p \sqrt{64 + 9 p^{2}}}{64 + 9 p^{2}} \approx \frac{3 p \sqrt{64 + 9 p^{2}}}{64 + 9 p^{2}}$