Trigonometrie Beispiele

$(36, 52)$

Schritt 1

Um den $\sin (θ)$ zwischen der x-Achse und der Geraden zwischen den Punkten $(0, 0)$ und $(36, 52)$ zu ermitteln, zeichne das Dreieck zwischen den drei Punkten $(0, 0)$ , $(36, 0)$ und $(36, 52)$ .

Gegenüberliegend : $52$

Ankathete : $36$

Schritt 2

Berechne die Hypotenuse unter Anwendung des Satzes von Pythagoras $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Potenziere $36$ mit $2$ .

$\sqrt{1296 + {(52)}^{2}}$

Schritt 2.2

Potenziere $52$ mit $2$ .

$\sqrt{1296 + 2704}$

Schritt 2.3

Addiere $1296$ und $2704$ .

$\sqrt{4000}$

Schritt 2.4

Schreibe $4000$ als $20^{2} \cdot 10$ um.

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Schritt 2.4.1

Faktorisiere $400$ aus $4000$ heraus.

$\sqrt{400 (10)}$

Schritt 2.4.2

Schreibe $400$ als $20^{2}$ um.

$\sqrt{20^{2} \cdot 10}$

Schritt 2.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$20 \sqrt{10}$

Schritt 3

Aus $\sin (θ) = \frac{Gegenüberliegend}{Hypotenuse}$ folgt $\sin (θ) = \frac{52}{20 \sqrt{10}}$ .

$\frac{52}{20 \sqrt{10}}$

Schritt 4

Vereinfache $\sin (θ)$ .

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $52$ und $20$ .

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $4$ aus $52$ heraus.

$\sin (θ) = \frac{4 (13)}{20 \sqrt{10}}$

Schritt 4.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $20 \sqrt{10}$ heraus.

$\sin (θ) = \frac{4 (13)}{4 (5 \sqrt{10})}$

Schritt 4.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (θ) = \frac{4 \cdot 13}{4 (5 \sqrt{10})}$

Schritt 4.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sin (θ) = \frac{13}{5 \sqrt{10}}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{13}{5 \sqrt{10}}$ mit $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\sin (θ) = \frac{13}{5 \sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$

Schritt 4.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $\frac{13}{5 \sqrt{10}}$ mit $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\sin (θ) = \frac{13 \sqrt{10}}{5 \sqrt{10} \sqrt{10}}$

Schritt 4.3.2

Bewege $\sqrt{10}$ .

$\sin (θ) = \frac{13 \sqrt{10}}{5 (\sqrt{10} \sqrt{10})}$

Schritt 4.3.3

Potenziere $\sqrt{10}$ mit $1$ .

$\sin (θ) = \frac{13 \sqrt{10}}{5 (\sqrt{10} \sqrt{10})}$

Schritt 4.3.4

Potenziere $\sqrt{10}$ mit $1$ .

$\sin (θ) = \frac{13 \sqrt{10}}{5 (\sqrt{10} \sqrt{10})}$

Schritt 4.3.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sin (θ) = \frac{13 \sqrt{10}}{5 {\sqrt{10}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.3.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin (θ) = \frac{13 \sqrt{10}}{5 {\sqrt{10}}^{2}}$

Schritt 4.3.7

Schreibe ${\sqrt{10}}^{2}$ als $10$ um.

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Schritt 4.3.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{10}$ als $10^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sin (θ) = \frac{13 \sqrt{10}}{5 {(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.3.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = \frac{13 \sqrt{10}}{5 \cdot 10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.3.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sin (θ) = \frac{13 \sqrt{10}}{5 \cdot 10^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.3.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (θ) = \frac{13 \sqrt{10}}{5 \cdot 10^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.3.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (θ) = \frac{13 \sqrt{10}}{5 \cdot 10}$

Schritt 4.3.7.5

Berechne den Exponenten.

$\sin (θ) = \frac{13 \sqrt{10}}{5 \cdot 10}$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $5$ mit $10$ .

$\sin (θ) = \frac{13 \sqrt{10}}{50}$

Schritt 5

Approximiere das Ergebnis.

$\sin (θ) = \frac{13 \sqrt{10}}{50} \approx 0.82219219$