Trigonometrie Beispiele

$\frac{2 \sqrt{x} - 5 \sqrt{y}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}$

Schritt 1

Mutltipliziere $\frac{2 \sqrt{x} - 5 \sqrt{y}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}$ mit $\frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{\sqrt{x} - \sqrt{y}}$ .

$\frac{2 \sqrt{x} - 5 \sqrt{y}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{\sqrt{x} - \sqrt{y}}$

Schritt 2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $\frac{2 \sqrt{x} - 5 \sqrt{y}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}$ mit $\frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{\sqrt{x} - \sqrt{y}}$ .

$\frac{(2 \sqrt{x} - 5 \sqrt{y}) (\sqrt{x} - \sqrt{y})}{(\sqrt{x} + \sqrt{y}) (\sqrt{x} - \sqrt{y})}$

Schritt 2.2

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{(2 \sqrt{x} - 5 \sqrt{y}) (\sqrt{x} - \sqrt{y})}{{\sqrt{x}}^{2} - \sqrt{x y} + \sqrt{y x} - {\sqrt{y}}^{2}}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

$\frac{(2 \sqrt{x} - 5 \sqrt{y}) (\sqrt{x} - \sqrt{y})}{x - y}$

Schritt 3

Multipliziere $(2 \sqrt{x} - 5 \sqrt{y}) (\sqrt{x} - \sqrt{y})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \sqrt{x} (\sqrt{x} - \sqrt{y}) - 5 \sqrt{y} (\sqrt{x} - \sqrt{y})}{x - y}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \sqrt{x} \sqrt{x} + 2 \sqrt{x} (- \sqrt{y}) - 5 \sqrt{y} (\sqrt{x} - \sqrt{y})}{x - y}$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \sqrt{x} \sqrt{x} + 2 \sqrt{x} (- \sqrt{y}) - 5 \sqrt{y} \sqrt{x} - 5 \sqrt{y} (- \sqrt{y})}{x - y}$

Schritt 4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Multipliziere $2 \sqrt{x} \sqrt{x}$ .

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Schritt 4.1.1.1

Potenziere $\sqrt{x}$ mit $1$ .

$\frac{2 ({\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}) + 2 \sqrt{x} (- \sqrt{y}) - 5 \sqrt{y} \sqrt{x} - 5 \sqrt{y} (- \sqrt{y})}{x - y}$

Schritt 4.1.1.2

Potenziere $\sqrt{x}$ mit $1$ .

$\frac{2 ({\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}) + 2 \sqrt{x} (- \sqrt{y}) - 5 \sqrt{y} \sqrt{x} - 5 \sqrt{y} (- \sqrt{y})}{x - y}$

Schritt 4.1.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 {\sqrt{x}}^{1 + 1} + 2 \sqrt{x} (- \sqrt{y}) - 5 \sqrt{y} \sqrt{x} - 5 \sqrt{y} (- \sqrt{y})}{x - y}$

Schritt 4.1.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 {\sqrt{x}}^{2} + 2 \sqrt{x} (- \sqrt{y}) - 5 \sqrt{y} \sqrt{x} - 5 \sqrt{y} (- \sqrt{y})}{x - y}$

Schritt 4.1.2

Schreibe ${\sqrt{x}}^{2}$ als $x$ um.

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Schritt 4.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{2 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + 2 \sqrt{x} (- \sqrt{y}) - 5 \sqrt{y} \sqrt{x} - 5 \sqrt{y} (- \sqrt{y})}{x - y}$

Schritt 4.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 2 \sqrt{x} (- \sqrt{y}) - 5 \sqrt{y} \sqrt{x} - 5 \sqrt{y} (- \sqrt{y})}{x - y}$

Schritt 4.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2 x^{\frac{2}{2}} + 2 \sqrt{x} (- \sqrt{y}) - 5 \sqrt{y} \sqrt{x} - 5 \sqrt{y} (- \sqrt{y})}{x - y}$

Schritt 4.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x^{\frac{2}{2}} + 2 \sqrt{x} (- \sqrt{y}) - 5 \sqrt{y} \sqrt{x} - 5 \sqrt{y} (- \sqrt{y})}{x - y}$

Schritt 4.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 x^{1} + 2 \sqrt{x} (- \sqrt{y}) - 5 \sqrt{y} \sqrt{x} - 5 \sqrt{y} (- \sqrt{y})}{x - y}$

Schritt 4.1.2.5

Vereinfache.

$\frac{2 x + 2 \sqrt{x} (- \sqrt{y}) - 5 \sqrt{y} \sqrt{x} - 5 \sqrt{y} (- \sqrt{y})}{x - y}$

Schritt 4.1.3

Multipliziere $2 \sqrt{x} (- \sqrt{y})$ .

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Schritt 4.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2 x - 2 \sqrt{x} \sqrt{y} - 5 \sqrt{y} \sqrt{x} - 5 \sqrt{y} (- \sqrt{y})}{x - y}$

Schritt 4.1.3.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{2 x - 2 \sqrt{y x} - 5 \sqrt{y} \sqrt{x} - 5 \sqrt{y} (- \sqrt{y})}{x - y}$

Schritt 4.1.4

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{2 x - 2 \sqrt{y x} - 5 \sqrt{x y} - 5 \sqrt{y} (- \sqrt{y})}{x - y}$

Schritt 4.1.5

Multipliziere $- 5 \sqrt{y} (- \sqrt{y})$ .

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Schritt 4.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$\frac{2 x - 2 \sqrt{y x} - 5 \sqrt{x y} + 5 \sqrt{y} \sqrt{y}}{x - y}$

Schritt 4.1.5.2

Potenziere $\sqrt{y}$ mit $1$ .

$\frac{2 x - 2 \sqrt{y x} - 5 \sqrt{x y} + 5 ({\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y})}{x - y}$

Schritt 4.1.5.3

Potenziere $\sqrt{y}$ mit $1$ .

$\frac{2 x - 2 \sqrt{y x} - 5 \sqrt{x y} + 5 ({\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1})}{x - y}$

Schritt 4.1.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 x - 2 \sqrt{y x} - 5 \sqrt{x y} + 5 {\sqrt{y}}^{1 + 1}}{x - y}$

Schritt 4.1.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 x - 2 \sqrt{y x} - 5 \sqrt{x y} + 5 {\sqrt{y}}^{2}}{x - y}$

Schritt 4.1.6

Schreibe ${\sqrt{y}}^{2}$ als $y$ um.

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Schritt 4.1.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y}$ als $y^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{2 x - 2 \sqrt{y x} - 5 \sqrt{x y} + 5 {(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}{x - y}$

Schritt 4.1.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 x - 2 \sqrt{y x} - 5 \sqrt{x y} + 5 y^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{x - y}$

Schritt 4.1.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2 x - 2 \sqrt{y x} - 5 \sqrt{x y} + 5 y^{\frac{2}{2}}}{x - y}$

Schritt 4.1.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x - 2 \sqrt{y x} - 5 \sqrt{x y} + 5 y^{\frac{2}{2}}}{x - y}$

Schritt 4.1.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 x - 2 \sqrt{y x} - 5 \sqrt{x y} + 5 y^{1}}{x - y}$

Schritt 4.1.6.5

Vereinfache.

$\frac{2 x - 2 \sqrt{y x} - 5 \sqrt{x y} + 5 y}{x - y}$

Schritt 4.2

Subtrahiere $5 \sqrt{x y}$ von $- 2 \sqrt{y x}$ .

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Schritt 4.2.1

Stelle $y$ und $x$ um.

$\frac{2 x - 2 \sqrt{x y} - 5 \sqrt{x y} + 5 y}{x - y}$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $5 \sqrt{x y}$ von $- 2 \sqrt{x y}$ .

$\frac{2 x - 7 \sqrt{x y} + 5 y}{x - y}$