Trigonometrie Beispiele

$(\frac{5}{8}, - \frac{3}{8})$

Schritt 1

Um den $\sin (θ)$ zwischen der x-Achse und der Geraden zwischen den Punkten $(0, 0)$ und $(\frac{5}{8}, - \frac{3}{8})$ zu ermitteln, zeichne das Dreieck zwischen den drei Punkten $(0, 0)$ , $(\frac{5}{8}, 0)$ und $(\frac{5}{8}, - \frac{3}{8})$ .

Gegenüberliegend : $- \frac{3}{8}$

Ankathete : $\frac{5}{8}$

Schritt 2

Berechne die Hypotenuse unter Anwendung des Satzes von Pythagoras $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{8}$ an.

$\sqrt{\frac{5^{2}}{8^{2}} + {(- \frac{3}{8})}^{2}}$

Schritt 2.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{25}{8^{2}} + {(- \frac{3}{8})}^{2}}$

Schritt 2.3

Potenziere $8$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{25}{64} + {(- \frac{3}{8})}^{2}}$

Schritt 2.4

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.4.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{3}{8}$ an.

$\sqrt{\frac{25}{64} + {(- 1)}^{2} {(\frac{3}{8})}^{2}}$

Schritt 2.4.2

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{8}$ an.

$\sqrt{\frac{25}{64} + {(- 1)}^{2} \frac{3^{2}}{8^{2}}}$

Schritt 2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.5.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{25}{64} + 1 \frac{3^{2}}{8^{2}}}$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $\frac{3^{2}}{8^{2}}$ mit $1$ .

$\sqrt{\frac{25}{64} + \frac{3^{2}}{8^{2}}}$

Schritt 2.5.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{25}{64} + \frac{9}{8^{2}}}$

Schritt 2.5.4

Potenziere $8$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{25}{64} + \frac{9}{64}}$

Schritt 2.5.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{25 + 9}{64}}$

Schritt 2.5.6

Addiere $25$ und $9$ .

$\sqrt{\frac{34}{64}}$

Schritt 2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $34$ und $64$ .

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Schritt 2.6.1

Faktorisiere $2$ aus $34$ heraus.

$\sqrt{\frac{2 (17)}{64}}$

Schritt 2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $64$ heraus.

$\sqrt{\frac{2 \cdot 17}{2 \cdot 32}}$

Schritt 2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{2 \cdot 17}{2 \cdot 32}}$

Schritt 2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{17}{32}}$

Schritt 2.7

Schreibe $\sqrt{\frac{17}{32}}$ als $\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{32}}$ um.

$\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{32}}$

Schritt 2.8

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.8.1

Schreibe $32$ als $4^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 2.8.1.1

Faktorisiere $16$ aus $32$ heraus.

$\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{16 (2)}}$

Schritt 2.8.1.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{4^{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.8.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{\sqrt{17}}{4 \sqrt{2}}$

Schritt 2.9

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{17}}{4 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{17}}{4 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 2.10

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.10.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{17}}{4 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{17} \sqrt{2}}{4 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 2.10.2

Bewege $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{17} \sqrt{2}}{4 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Schritt 2.10.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{17} \sqrt{2}}{4 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Schritt 2.10.4

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{17} \sqrt{2}}{4 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Schritt 2.10.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt{17} \sqrt{2}}{4 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 2.10.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sqrt{17} \sqrt{2}}{4 {\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 2.10.7

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 2.10.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{17} \sqrt{2}}{4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.10.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{17} \sqrt{2}}{4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.10.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{17} \sqrt{2}}{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.10.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.10.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{17} \sqrt{2}}{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.10.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{17} \sqrt{2}}{4 \cdot 2^{1}}$

Schritt 2.10.7.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\sqrt{17} \sqrt{2}}{4 \cdot 2}$

Schritt 2.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.11.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{17 \cdot 2}}{4 \cdot 2}$

Schritt 2.11.2

Mutltipliziere $17$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{34}}{4 \cdot 2}$

Schritt 2.12

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{34}}{8}$

Schritt 3

Aus $\sin (θ) = \frac{Gegenüberliegend}{Hypotenuse}$ folgt $\sin (θ) = \frac{- \frac{3}{8}}{\frac{\sqrt{34}}{8}}$ .

$\frac{- \frac{3}{8}}{\frac{\sqrt{34}}{8}}$

Schritt 4

Vereinfache $\sin (θ)$ .

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Schritt 4.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\sin (θ) = - \frac{3}{8} \cdot \frac{8}{\sqrt{34}}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 4.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3}{8}$ in den Zähler.

$\sin (θ) = \frac{- 3}{8} \cdot \frac{8}{\sqrt{34}}$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (θ) = \frac{- 3}{8} \cdot \frac{8}{\sqrt{34}}$

Schritt 4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sin (θ) = - 3 \frac{1}{\sqrt{34}}$

Schritt 4.3

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{\sqrt{34}}$ .

$\sin (θ) = \frac{- 3}{\sqrt{34}}$

Schritt 4.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sin (θ) = - \frac{3}{\sqrt{34}}$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $\frac{3}{\sqrt{34}}$ mit $\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}}$ .

$\sin (θ) = - (\frac{3}{\sqrt{34}} \cdot \frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}})$

Schritt 4.6

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.6.1

Mutltipliziere $\frac{3}{\sqrt{34}}$ mit $\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}}$ .

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{34}}{\sqrt{34} \sqrt{34}}$

Schritt 4.6.2

Potenziere $\sqrt{34}$ mit $1$ .

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{34}}{\sqrt{34} \sqrt{34}}$

Schritt 4.6.3

Potenziere $\sqrt{34}$ mit $1$ .

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{34}}{\sqrt{34} \sqrt{34}}$

Schritt 4.6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{34}}{{\sqrt{34}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.6.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{34}}{{\sqrt{34}}^{2}}$

Schritt 4.6.6

Schreibe ${\sqrt{34}}^{2}$ als $34$ um.

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Schritt 4.6.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{34}$ als $34^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{34}}{{(34^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.6.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{34}}{34^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.6.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{34}}{34^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.6.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.6.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{34}}{34^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.6.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{34}}{34}$

Schritt 4.6.6.5

Berechne den Exponenten.

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{34}}{34}$

Schritt 5

Approximiere das Ergebnis.

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{34}}{34} \approx - 0.51449575$