Trigonometrie Beispiele

$(\frac{5}{6}, \sqrt{\frac{11}{6}})$

Schritt 1

Um den $\sin (θ)$ zwischen der x-Achse und der Geraden zwischen den Punkten $(0, 0)$ und $(\frac{5}{6}, \sqrt{\frac{11}{6}})$ zu ermitteln, zeichne das Dreieck zwischen den drei Punkten $(0, 0)$ , $(\frac{5}{6}, 0)$ und $(\frac{5}{6}, \sqrt{\frac{11}{6}})$ .

Gegenüberliegend : $\sqrt{\frac{11}{6}}$

Ankathete : $\frac{5}{6}$

Schritt 2

Berechne die Hypotenuse unter Anwendung des Satzes von Pythagoras $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{6}$ an.

$\sqrt{\frac{5^{2}}{6^{2}} + {(\sqrt{\frac{11}{6}})}^{2}}$

Schritt 2.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{25}{6^{2}} + {(\sqrt{\frac{11}{6}})}^{2}}$

Schritt 2.3

Potenziere $6$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{25}{36} + {(\sqrt{\frac{11}{6}})}^{2}}$

Schritt 2.4

Schreibe $\sqrt{\frac{11}{6}}$ als $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{6}}$ um.

$\sqrt{\frac{25}{36} + {(\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{6}})}^{2}}$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{6}}$ mit $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\sqrt{\frac{25}{36} + {(\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}})}^{2}}$

Schritt 2.6

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.6.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{6}}$ mit $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\sqrt{\frac{25}{36} + {(\frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}})}^{2}}$

Schritt 2.6.2

Potenziere $\sqrt{6}$ mit $1$ .

$\sqrt{\frac{25}{36} + {(\frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}})}^{2}}$

Schritt 2.6.3

Potenziere $\sqrt{6}$ mit $1$ .

$\sqrt{\frac{25}{36} + {(\frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}})}^{2}}$

Schritt 2.6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sqrt{\frac{25}{36} + {(\frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}})}^{2}}$

Schritt 2.6.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sqrt{\frac{25}{36} + {(\frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}})}^{2}}$

Schritt 2.6.6

Schreibe ${\sqrt{6}}^{2}$ als $6$ um.

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Schritt 2.6.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6}$ als $6^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{\frac{25}{36} + {(\frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}}$

Schritt 2.6.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{25}{36} + {(\frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}}$

Schritt 2.6.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{\frac{25}{36} + {(\frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}})}^{2}}$

Schritt 2.6.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.6.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{25}{36} + {(\frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}})}^{2}}$

Schritt 2.6.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{25}{36} + {(\frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{6^{1}})}^{2}}$

Schritt 2.6.6.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{\frac{25}{36} + {(\frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{6})}^{2}}$

Schritt 2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.7.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\sqrt{\frac{25}{36} + {(\frac{\sqrt{11 \cdot 6}}{6})}^{2}}$

Schritt 2.7.2

Mutltipliziere $11$ mit $6$ .

$\sqrt{\frac{25}{36} + {(\frac{\sqrt{66}}{6})}^{2}}$

Schritt 2.8

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.8.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{66}}{6}$ an.

$\sqrt{\frac{25}{36} + \frac{{\sqrt{66}}^{2}}{6^{2}}}$

Schritt 2.8.2

Schreibe ${\sqrt{66}}^{2}$ als $66$ um.

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Schritt 2.8.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{66}$ als $66^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{\frac{25}{36} + \frac{{(66^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6^{2}}}$

Schritt 2.8.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{25}{36} + \frac{66^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6^{2}}}$

Schritt 2.8.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{\frac{25}{36} + \frac{66^{\frac{2}{2}}}{6^{2}}}$

Schritt 2.8.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.8.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{25}{36} + \frac{66^{\frac{2}{2}}}{6^{2}}}$

Schritt 2.8.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{25}{36} + \frac{66^{1}}{6^{2}}}$

Schritt 2.8.2.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{\frac{25}{36} + \frac{66}{6^{2}}}$

Schritt 2.8.3

Potenziere $6$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{25}{36} + \frac{66}{36}}$

Schritt 2.8.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $66$ und $36$ .

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Schritt 2.8.4.1

Faktorisiere $6$ aus $66$ heraus.

$\sqrt{\frac{25}{36} + \frac{6 (11)}{36}}$

Schritt 2.8.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.8.4.2.1

Faktorisiere $6$ aus $36$ heraus.

$\sqrt{\frac{25}{36} + \frac{6 \cdot 11}{6 \cdot 6}}$

Schritt 2.8.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{25}{36} + \frac{6 \cdot 11}{6 \cdot 6}}$

Schritt 2.8.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{25}{36} + \frac{11}{6}}$

Schritt 2.9

Um $\frac{11}{6}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$\sqrt{\frac{25}{36} + \frac{11}{6} \cdot \frac{6}{6}}$

Schritt 2.10

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $36$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.10.1

Mutltipliziere $\frac{11}{6}$ mit $\frac{6}{6}$ .

$\sqrt{\frac{25}{36} + \frac{11 \cdot 6}{6 \cdot 6}}$

Schritt 2.10.2

Mutltipliziere $6$ mit $6$ .

$\sqrt{\frac{25}{36} + \frac{11 \cdot 6}{36}}$

Schritt 2.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{25 + 11 \cdot 6}{36}}$

Schritt 2.12

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.12.1

Mutltipliziere $11$ mit $6$ .

$\sqrt{\frac{25 + 66}{36}}$

Schritt 2.12.2

Addiere $25$ und $66$ .

$\sqrt{\frac{91}{36}}$

Schritt 2.13

Schreibe $\sqrt{\frac{91}{36}}$ als $\frac{\sqrt{91}}{\sqrt{36}}$ um.

$\frac{\sqrt{91}}{\sqrt{36}}$

Schritt 2.14

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.14.1

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{91}}{\sqrt{6^{2}}}$

Schritt 2.14.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{\sqrt{91}}{6}$

Schritt 3

Aus $\sin (θ) = \frac{Gegenüberliegend}{Hypotenuse}$ folgt $\sin (θ) = \frac{\sqrt{\frac{11}{6}}}{\frac{\sqrt{91}}{6}}$ .

$\frac{\sqrt{\frac{11}{6}}}{\frac{\sqrt{91}}{6}}$

Schritt 4

Vereinfache $\sin (θ)$ .

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Schritt 4.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\sin (θ) = \sqrt{\frac{11}{6}} (\frac{6}{\sqrt{91}})$

Schritt 4.2

Schreibe $\sqrt{\frac{11}{6}}$ als $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{6}}$ um.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{6}{\sqrt{91}}$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{6}}$ mit $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{6}{\sqrt{91}}$

Schritt 4.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.4.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{6}}$ mit $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}} \cdot \frac{6}{\sqrt{91}}$

Schritt 4.4.2

Potenziere $\sqrt{6}$ mit $1$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}} \cdot \frac{6}{\sqrt{91}}$

Schritt 4.4.3

Potenziere $\sqrt{6}$ mit $1$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}} \cdot \frac{6}{\sqrt{91}}$

Schritt 4.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}} \cdot \frac{6}{\sqrt{91}}$

Schritt 4.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}} \cdot \frac{6}{\sqrt{91}}$

Schritt 4.4.6

Schreibe ${\sqrt{6}}^{2}$ als $6$ um.

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Schritt 4.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6}$ als $6^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{6}{\sqrt{91}}$

Schritt 4.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \frac{6}{\sqrt{91}}$

Schritt 4.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{6}{\sqrt{91}}$

Schritt 4.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{6}{\sqrt{91}}$

Schritt 4.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{6} \cdot \frac{6}{\sqrt{91}}$

Schritt 4.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{6} \cdot \frac{6}{\sqrt{91}}$

Schritt 4.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 4.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{11} \sqrt{6}}{6} \cdot \frac{6}{\sqrt{91}}$

Schritt 4.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (θ) = \sqrt{11} \sqrt{6} (\frac{1}{\sqrt{91}})$

Schritt 4.6

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\sin (θ) = \sqrt{11 \cdot 6} (\frac{1}{\sqrt{91}})$

Schritt 4.7

Mutltipliziere $11$ mit $6$ .

$\sin (θ) = \sqrt{66} (\frac{1}{\sqrt{91}})$

Schritt 4.8

Kombiniere $\sqrt{66}$ und $\frac{1}{\sqrt{91}}$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{66}}{\sqrt{91}}$

Schritt 4.9

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{66}}{\sqrt{91}}$ mit $\frac{\sqrt{91}}{\sqrt{91}}$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{66}}{\sqrt{91}} \cdot \frac{\sqrt{91}}{\sqrt{91}}$

Schritt 4.10

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.10.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{66}}{\sqrt{91}}$ mit $\frac{\sqrt{91}}{\sqrt{91}}$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{66} \sqrt{91}}{\sqrt{91} \sqrt{91}}$

Schritt 4.10.2

Potenziere $\sqrt{91}$ mit $1$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{66} \sqrt{91}}{\sqrt{91} \sqrt{91}}$

Schritt 4.10.3

Potenziere $\sqrt{91}$ mit $1$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{66} \sqrt{91}}{\sqrt{91} \sqrt{91}}$

Schritt 4.10.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{66} \sqrt{91}}{{\sqrt{91}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.10.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{66} \sqrt{91}}{{\sqrt{91}}^{2}}$

Schritt 4.10.6

Schreibe ${\sqrt{91}}^{2}$ als $91$ um.

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Schritt 4.10.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{91}$ als $91^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{66} \sqrt{91}}{{(91^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.10.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{66} \sqrt{91}}{91^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.10.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{66} \sqrt{91}}{91^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.10.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.10.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{66} \sqrt{91}}{91^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.10.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{66} \sqrt{91}}{91}$

Schritt 4.10.6.5

Berechne den Exponenten.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{66} \sqrt{91}}{91}$

Schritt 4.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.11.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{66 \cdot 91}}{91}$

Schritt 4.11.2

Mutltipliziere $66$ mit $91$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{6006}}{91}$

Schritt 5

Approximiere das Ergebnis.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{6006}}{91} \approx 0.85163062$