Trigonometrie Beispiele

$(\sqrt{3}, 5)$

Schritt 1

Um den $\sin (θ)$ zwischen der x-Achse und der Geraden zwischen den Punkten $(0, 0)$ und $(\sqrt{3}, 5)$ zu ermitteln, zeichne das Dreieck zwischen den drei Punkten $(0, 0)$ , $(\sqrt{3}, 0)$ und $(\sqrt{3}, 5)$ .

Gegenüberliegend : $5$

Ankathete : $\sqrt{3}$

Schritt 2

Berechne die Hypotenuse unter Anwendung des Satzes von Pythagoras $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(5)}^{2}}$

Schritt 2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(5)}^{2}}$

Schritt 2.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{3^{\frac{2}{2}} + {(5)}^{2}}$

Schritt 2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{3^{\frac{2}{2}} + {(5)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{3^{1} + {(5)}^{2}}$

Schritt 2.1.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{3 + {(5)}^{2}}$

Schritt 2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\sqrt{3 + 25}$

Schritt 2.2.2

Addiere $3$ und $25$ .

$\sqrt{28}$

Schritt 2.3

Schreibe $28$ als $2^{2} \cdot 7$ um.

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Schritt 2.3.1

Faktorisiere $4$ aus $28$ heraus.

$\sqrt{4 (7)}$

Schritt 2.3.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\sqrt{2^{2} \cdot 7}$

Schritt 2.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$2 \sqrt{7}$

Schritt 3

Aus $\sin (θ) = \frac{Gegenüberliegend}{Hypotenuse}$ folgt $\sin (θ) = \frac{5}{2 \sqrt{7}}$ .

$\frac{5}{2 \sqrt{7}}$

Schritt 4

Vereinfache $\sin (θ)$ .

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{5}{2 \sqrt{7}}$ mit $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\sin (θ) = \frac{5}{2 \sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$

Schritt 4.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $\frac{5}{2 \sqrt{7}}$ mit $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\sin (θ) = \frac{5 \sqrt{7}}{2 \sqrt{7} \sqrt{7}}$

Schritt 4.2.2

Bewege $\sqrt{7}$ .

$\sin (θ) = \frac{5 \sqrt{7}}{2 (\sqrt{7} \sqrt{7})}$

Schritt 4.2.3

Potenziere $\sqrt{7}$ mit $1$ .

$\sin (θ) = \frac{5 \sqrt{7}}{2 (\sqrt{7} \sqrt{7})}$

Schritt 4.2.4

Potenziere $\sqrt{7}$ mit $1$ .

$\sin (θ) = \frac{5 \sqrt{7}}{2 (\sqrt{7} \sqrt{7})}$

Schritt 4.2.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sin (θ) = \frac{5 \sqrt{7}}{2 {\sqrt{7}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.2.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin (θ) = \frac{5 \sqrt{7}}{2 {\sqrt{7}}^{2}}$

Schritt 4.2.7

Schreibe ${\sqrt{7}}^{2}$ als $7$ um.

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Schritt 4.2.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{7}$ als $7^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sin (θ) = \frac{5 \sqrt{7}}{2 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.2.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = \frac{5 \sqrt{7}}{2 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.2.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sin (θ) = \frac{5 \sqrt{7}}{2 \cdot 7^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.2.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (θ) = \frac{5 \sqrt{7}}{2 \cdot 7^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.2.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (θ) = \frac{5 \sqrt{7}}{2 \cdot 7}$

Schritt 4.2.7.5

Berechne den Exponenten.

$\sin (θ) = \frac{5 \sqrt{7}}{2 \cdot 7}$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$\sin (θ) = \frac{5 \sqrt{7}}{14}$

Schritt 5

Approximiere das Ergebnis.

$\sin (θ) = \frac{5 \sqrt{7}}{14} \approx 0.94491118$