Trigonometrie Beispiele

$(\frac{9}{11}, \frac{40}{41})$

Schritt 1

Um den $\sin (θ)$ zwischen der x-Achse und der Geraden zwischen den Punkten $(0, 0)$ und $(\frac{9}{11}, \frac{40}{41})$ zu ermitteln, zeichne das Dreieck zwischen den drei Punkten $(0, 0)$ , $(\frac{9}{11}, 0)$ und $(\frac{9}{11}, \frac{40}{41})$ .

Gegenüberliegend : $\frac{40}{41}$

Ankathete : $\frac{9}{11}$

Schritt 2

Berechne die Hypotenuse unter Anwendung des Satzes von Pythagoras $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{9}{11}$ an.

$\sqrt{\frac{9^{2}}{11^{2}} + {(\frac{40}{41})}^{2}}$

Schritt 2.2

Potenziere $9$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{81}{11^{2}} + {(\frac{40}{41})}^{2}}$

Schritt 2.3

Potenziere $11$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{81}{121} + {(\frac{40}{41})}^{2}}$

Schritt 2.4

Wende die Produktregel auf $\frac{40}{41}$ an.

$\sqrt{\frac{81}{121} + \frac{40^{2}}{41^{2}}}$

Schritt 2.5

Potenziere $40$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{81}{121} + \frac{1600}{41^{2}}}$

Schritt 2.6

Potenziere $41$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{81}{121} + \frac{1600}{1681}}$

Schritt 2.7

Um $\frac{81}{121}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1681}{1681}$ .

$\sqrt{\frac{81}{121} \cdot \frac{1681}{1681} + \frac{1600}{1681}}$

Schritt 2.8

Um $\frac{1600}{1681}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{121}{121}$ .

$\sqrt{\frac{81}{121} \cdot \frac{1681}{1681} + \frac{1600}{1681} \cdot \frac{121}{121}}$

Schritt 2.9

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $203401$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.9.1

Mutltipliziere $\frac{81}{121}$ mit $\frac{1681}{1681}$ .

$\sqrt{\frac{81 \cdot 1681}{121 \cdot 1681} + \frac{1600}{1681} \cdot \frac{121}{121}}$

Schritt 2.9.2

Mutltipliziere $121$ mit $1681$ .

$\sqrt{\frac{81 \cdot 1681}{203401} + \frac{1600}{1681} \cdot \frac{121}{121}}$

Schritt 2.9.3

Mutltipliziere $\frac{1600}{1681}$ mit $\frac{121}{121}$ .

$\sqrt{\frac{81 \cdot 1681}{203401} + \frac{1600 \cdot 121}{1681 \cdot 121}}$

Schritt 2.9.4

Mutltipliziere $1681$ mit $121$ .

$\sqrt{\frac{81 \cdot 1681}{203401} + \frac{1600 \cdot 121}{203401}}$

Schritt 2.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{81 \cdot 1681 + 1600 \cdot 121}{203401}}$

Schritt 2.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.11.1

Mutltipliziere $81$ mit $1681$ .

$\sqrt{\frac{136161 + 1600 \cdot 121}{203401}}$

Schritt 2.11.2

Mutltipliziere $1600$ mit $121$ .

$\sqrt{\frac{136161 + 193600}{203401}}$

Schritt 2.11.3

Addiere $136161$ und $193600$ .

$\sqrt{\frac{329761}{203401}}$

Schritt 2.12

Schreibe $\sqrt{\frac{329761}{203401}}$ als $\frac{\sqrt{329761}}{\sqrt{203401}}$ um.

$\frac{\sqrt{329761}}{\sqrt{203401}}$

Schritt 2.13

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.13.1

Schreibe $203401$ als $451^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{329761}}{\sqrt{451^{2}}}$

Schritt 2.13.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{\sqrt{329761}}{451}$

Schritt 3

Aus $\sin (θ) = \frac{Gegenüberliegend}{Hypotenuse}$ folgt $\sin (θ) = \frac{\frac{40}{41}}{\frac{\sqrt{329761}}{451}}$ .

$\frac{\frac{40}{41}}{\frac{\sqrt{329761}}{451}}$

Schritt 4

Vereinfache $\sin (θ)$ .

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Schritt 4.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\sin (θ) = \frac{40}{41} \cdot \frac{451}{\sqrt{329761}}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $41$ .

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $41$ aus $451$ heraus.

$\sin (θ) = \frac{40}{41} \cdot \frac{41 (11)}{\sqrt{329761}}$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (θ) = \frac{40}{41} \cdot \frac{41 \cdot 11}{\sqrt{329761}}$

Schritt 4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sin (θ) = 40 (\frac{11}{\sqrt{329761}})$

Schritt 4.3

Kombiniere $40$ und $\frac{11}{\sqrt{329761}}$ .

$\sin (θ) = \frac{40 \cdot 11}{\sqrt{329761}}$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $40$ mit $11$ .

$\sin (θ) = \frac{440}{\sqrt{329761}}$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $\frac{440}{\sqrt{329761}}$ mit $\frac{\sqrt{329761}}{\sqrt{329761}}$ .

$\sin (θ) = \frac{440}{\sqrt{329761}} \cdot \frac{\sqrt{329761}}{\sqrt{329761}}$

Schritt 4.6

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.6.1

Mutltipliziere $\frac{440}{\sqrt{329761}}$ mit $\frac{\sqrt{329761}}{\sqrt{329761}}$ .

$\sin (θ) = \frac{440 \sqrt{329761}}{\sqrt{329761} \sqrt{329761}}$

Schritt 4.6.2

Potenziere $\sqrt{329761}$ mit $1$ .

$\sin (θ) = \frac{440 \sqrt{329761}}{\sqrt{329761} \sqrt{329761}}$

Schritt 4.6.3

Potenziere $\sqrt{329761}$ mit $1$ .

$\sin (θ) = \frac{440 \sqrt{329761}}{\sqrt{329761} \sqrt{329761}}$

Schritt 4.6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sin (θ) = \frac{440 \sqrt{329761}}{{\sqrt{329761}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.6.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin (θ) = \frac{440 \sqrt{329761}}{{\sqrt{329761}}^{2}}$

Schritt 4.6.6

Schreibe ${\sqrt{329761}}^{2}$ als $329761$ um.

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Schritt 4.6.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{329761}$ als $329761^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sin (θ) = \frac{440 \sqrt{329761}}{{(329761^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.6.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = \frac{440 \sqrt{329761}}{329761^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.6.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sin (θ) = \frac{440 \sqrt{329761}}{329761^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.6.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.6.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (θ) = \frac{440 \sqrt{329761}}{329761^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.6.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (θ) = \frac{440 \sqrt{329761}}{329761}$

Schritt 4.6.6.5

Berechne den Exponenten.

$\sin (θ) = \frac{440 \sqrt{329761}}{329761}$

Schritt 5

Approximiere das Ergebnis.

$\sin (θ) = \frac{440 \sqrt{329761}}{329761} \approx 0.7662192$