Trigonometrie Beispiele

$(- \frac{2}{3}, \frac{\sqrt{5}}{3})$

Schritt 1

Um den $\sin (θ)$ zwischen der x-Achse und der Geraden zwischen den Punkten $(0, 0)$ und $(- \frac{2}{3}, \frac{\sqrt{5}}{3})$ zu ermitteln, zeichne das Dreieck zwischen den drei Punkten $(0, 0)$ , $(- \frac{2}{3}, 0)$ und $(- \frac{2}{3}, \frac{\sqrt{5}}{3})$ .

Gegenüberliegend : $\frac{\sqrt{5}}{3}$

Ankathete : $- \frac{2}{3}$

Schritt 2

Berechne die Hypotenuse unter Anwendung des Satzes von Pythagoras $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{2}{3}$ an.

$\sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{\sqrt{5}}{3})}^{2}}$

Schritt 2.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{2}{3}$ an.

$\sqrt{{(- 1)}^{2} \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{\sqrt{5}}{3})}^{2}}$

Schritt 2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\sqrt{1 \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{\sqrt{5}}{3})}^{2}}$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $\frac{2^{2}}{3^{2}}$ mit $1$ .

$\sqrt{\frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{\sqrt{5}}{3})}^{2}}$

Schritt 2.2.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{4}{3^{2}} + {(\frac{\sqrt{5}}{3})}^{2}}$

Schritt 2.2.4

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + {(\frac{\sqrt{5}}{3})}^{2}}$

Schritt 2.2.5

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{5}}{3}$ an.

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{{\sqrt{5}}^{2}}{3^{2}}}$

Schritt 2.3

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 2.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}}}$

Schritt 2.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}}}$

Schritt 2.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{5^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}}$

Schritt 2.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{5^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}}$

Schritt 2.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{5^{1}}{3^{2}}}$

Schritt 2.3.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{5}{3^{2}}}$

Schritt 2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.4.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{5}{9}}$

Schritt 2.4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{4 + 5}{9}}$

Schritt 2.4.3

Addiere $4$ und $5$ .

$\sqrt{\frac{9}{9}}$

Schritt 2.4.4

Dividiere $9$ durch $9$ .

$\sqrt{1}$

Schritt 2.4.5

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$1$

Schritt 3

Aus $\sin (θ) = \frac{Gegenüberliegend}{Hypotenuse}$ folgt $\sin (θ) = \frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{1}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{1}$

Schritt 4

Dividiere $\frac{\sqrt{5}}{3}$ durch $1$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{5}}{3}$

Schritt 5

Approximiere das Ergebnis.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{5}}{3} \approx 0.74535599$