Trigonometrie Beispiele

$(\frac{3}{4}, \frac{7}{16})$

Schritt 1

Um den $\sin (θ)$ zwischen der x-Achse und der Geraden zwischen den Punkten $(0, 0)$ und $(\frac{3}{4}, \frac{7}{16})$ zu ermitteln, zeichne das Dreieck zwischen den drei Punkten $(0, 0)$ , $(\frac{3}{4}, 0)$ und $(\frac{3}{4}, \frac{7}{16})$ .

Gegenüberliegend : $\frac{7}{16}$

Ankathete : $\frac{3}{4}$

Schritt 2

Berechne die Hypotenuse unter Anwendung des Satzes von Pythagoras $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{4}$ an.

$\sqrt{\frac{3^{2}}{4^{2}} + {(\frac{7}{16})}^{2}}$

Schritt 2.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{9}{4^{2}} + {(\frac{7}{16})}^{2}}$

Schritt 2.3

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{9}{16} + {(\frac{7}{16})}^{2}}$

Schritt 2.4

Wende die Produktregel auf $\frac{7}{16}$ an.

$\sqrt{\frac{9}{16} + \frac{7^{2}}{16^{2}}}$

Schritt 2.5

Potenziere $7$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{9}{16} + \frac{49}{16^{2}}}$

Schritt 2.6

Potenziere $16$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{9}{16} + \frac{49}{256}}$

Schritt 2.7

Um $\frac{9}{16}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{9}{16} \cdot \frac{16}{16} + \frac{49}{256}}$

Schritt 2.8

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $256$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.8.1

Mutltipliziere $\frac{9}{16}$ mit $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{9 \cdot 16}{16 \cdot 16} + \frac{49}{256}}$

Schritt 2.8.2

Mutltipliziere $16$ mit $16$ .

$\sqrt{\frac{9 \cdot 16}{256} + \frac{49}{256}}$

Schritt 2.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{9 \cdot 16 + 49}{256}}$

Schritt 2.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.10.1

Mutltipliziere $9$ mit $16$ .

$\sqrt{\frac{144 + 49}{256}}$

Schritt 2.10.2

Addiere $144$ und $49$ .

$\sqrt{\frac{193}{256}}$

Schritt 2.11

Schreibe $\sqrt{\frac{193}{256}}$ als $\frac{\sqrt{193}}{\sqrt{256}}$ um.

$\frac{\sqrt{193}}{\sqrt{256}}$

Schritt 2.12

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.12.1

Schreibe $256$ als $16^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{193}}{\sqrt{16^{2}}}$

Schritt 2.12.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{\sqrt{193}}{16}$

Schritt 3

Aus $\sin (θ) = \frac{Gegenüberliegend}{Hypotenuse}$ folgt $\sin (θ) = \frac{\frac{7}{16}}{\frac{\sqrt{193}}{16}}$ .

$\frac{\frac{7}{16}}{\frac{\sqrt{193}}{16}}$

Schritt 4

Vereinfache $\sin (θ)$ .

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Schritt 4.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\sin (θ) = \frac{7}{16} \cdot \frac{16}{\sqrt{193}}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $16$ .

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (θ) = \frac{7}{16} \cdot \frac{16}{\sqrt{193}}$

Schritt 4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (θ) = 7 (\frac{1}{\sqrt{193}})$

Schritt 4.3

Kombiniere $7$ und $\frac{1}{\sqrt{193}}$ .

$\sin (θ) = \frac{7}{\sqrt{193}}$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $\frac{7}{\sqrt{193}}$ mit $\frac{\sqrt{193}}{\sqrt{193}}$ .

$\sin (θ) = \frac{7}{\sqrt{193}} \cdot \frac{\sqrt{193}}{\sqrt{193}}$

Schritt 4.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $\frac{7}{\sqrt{193}}$ mit $\frac{\sqrt{193}}{\sqrt{193}}$ .

$\sin (θ) = \frac{7 \sqrt{193}}{\sqrt{193} \sqrt{193}}$

Schritt 4.5.2

Potenziere $\sqrt{193}$ mit $1$ .

$\sin (θ) = \frac{7 \sqrt{193}}{\sqrt{193} \sqrt{193}}$

Schritt 4.5.3

Potenziere $\sqrt{193}$ mit $1$ .

$\sin (θ) = \frac{7 \sqrt{193}}{\sqrt{193} \sqrt{193}}$

Schritt 4.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sin (θ) = \frac{7 \sqrt{193}}{{\sqrt{193}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin (θ) = \frac{7 \sqrt{193}}{{\sqrt{193}}^{2}}$

Schritt 4.5.6

Schreibe ${\sqrt{193}}^{2}$ als $193$ um.

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Schritt 4.5.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{193}$ als $193^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sin (θ) = \frac{7 \sqrt{193}}{{(193^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.5.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = \frac{7 \sqrt{193}}{193^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.5.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sin (θ) = \frac{7 \sqrt{193}}{193^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.5.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.5.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (θ) = \frac{7 \sqrt{193}}{193^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.5.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (θ) = \frac{7 \sqrt{193}}{193}$

Schritt 4.5.6.5

Berechne den Exponenten.

$\sin (θ) = \frac{7 \sqrt{193}}{193}$

Schritt 5

Approximiere das Ergebnis.

$\sin (θ) = \frac{7 \sqrt{193}}{193} \approx 0.50387102$