Trigonometrie Beispiele

$(- \frac{1}{4}, - \frac{3}{4})$

Schritt 1

Um den $\sin (θ)$ zwischen der x-Achse und der Geraden zwischen den Punkten $(0, 0)$ und $(- \frac{1}{4}, - \frac{3}{4})$ zu ermitteln, zeichne das Dreieck zwischen den drei Punkten $(0, 0)$ , $(- \frac{1}{4}, 0)$ und $(- \frac{1}{4}, - \frac{3}{4})$ .

Gegenüberliegend : $- \frac{3}{4}$

Ankathete : $- \frac{1}{4}$

Schritt 2

Berechne die Hypotenuse unter Anwendung des Satzes von Pythagoras $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{4}$ an.

$\sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{4})}^{2} + {(- \frac{3}{4})}^{2}}$

Schritt 2.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{4}$ an.

$\sqrt{{(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{4^{2}} + {(- \frac{3}{4})}^{2}}$

Schritt 2.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\sqrt{1 \frac{1^{2}}{4^{2}} + {(- \frac{3}{4})}^{2}}$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $\frac{1^{2}}{4^{2}}$ mit $1$ .

$\sqrt{\frac{1^{2}}{4^{2}} + {(- \frac{3}{4})}^{2}}$

Schritt 2.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\sqrt{\frac{1}{4^{2}} + {(- \frac{3}{4})}^{2}}$

Schritt 2.5

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{16} + {(- \frac{3}{4})}^{2}}$

Schritt 2.6

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.6.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{3}{4}$ an.

$\sqrt{\frac{1}{16} + {(- 1)}^{2} {(\frac{3}{4})}^{2}}$

Schritt 2.6.2

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{4}$ an.

$\sqrt{\frac{1}{16} + {(- 1)}^{2} \frac{3^{2}}{4^{2}}}$

Schritt 2.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.7.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{16} + 1 \frac{3^{2}}{4^{2}}}$

Schritt 2.7.2

Mutltipliziere $\frac{3^{2}}{4^{2}}$ mit $1$ .

$\sqrt{\frac{1}{16} + \frac{3^{2}}{4^{2}}}$

Schritt 2.7.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{16} + \frac{9}{4^{2}}}$

Schritt 2.7.4

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{16} + \frac{9}{16}}$

Schritt 2.7.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{1 + 9}{16}}$

Schritt 2.7.6

Addiere $1$ und $9$ .

$\sqrt{\frac{10}{16}}$

Schritt 2.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $16$ .

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Schritt 2.8.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$\sqrt{\frac{2 (5)}{16}}$

Schritt 2.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.8.2.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$\sqrt{\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 8}}$

Schritt 2.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 8}}$

Schritt 2.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{5}{8}}$

Schritt 2.9

Schreibe $\sqrt{\frac{5}{8}}$ als $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{8}}$ um.

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{8}}$

Schritt 2.10

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.10.1

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 2.10.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{4 (2)}}$

Schritt 2.10.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.10.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 2.11

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 2.12

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.12.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 2.12.2

Bewege $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Schritt 2.12.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Schritt 2.12.4

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Schritt 2.12.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 2.12.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 2.12.7

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 2.12.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.12.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.12.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.12.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.12.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.12.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}$

Schritt 2.12.7.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.13

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.13.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{5 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.13.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{10}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.14

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{10}}{4}$

Schritt 3

Aus $\sin (θ) = \frac{Gegenüberliegend}{Hypotenuse}$ folgt $\sin (θ) = \frac{- \frac{3}{4}}{\frac{\sqrt{10}}{4}}$ .

$\frac{- \frac{3}{4}}{\frac{\sqrt{10}}{4}}$

Schritt 4

Vereinfache $\sin (θ)$ .

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Schritt 4.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\sin (θ) = - \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{\sqrt{10}}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3}{4}$ in den Zähler.

$\sin (θ) = \frac{- 3}{4} \cdot \frac{4}{\sqrt{10}}$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (θ) = \frac{- 3}{4} \cdot \frac{4}{\sqrt{10}}$

Schritt 4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sin (θ) = - 3 \frac{1}{\sqrt{10}}$

Schritt 4.3

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{\sqrt{10}}$ .

$\sin (θ) = \frac{- 3}{\sqrt{10}}$

Schritt 4.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sin (θ) = - \frac{3}{\sqrt{10}}$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $\frac{3}{\sqrt{10}}$ mit $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\sin (θ) = - (\frac{3}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}})$

Schritt 4.6

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.6.1

Mutltipliziere $\frac{3}{\sqrt{10}}$ mit $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Schritt 4.6.2

Potenziere $\sqrt{10}$ mit $1$ .

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Schritt 4.6.3

Potenziere $\sqrt{10}$ mit $1$ .

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Schritt 4.6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.6.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}}$

Schritt 4.6.6

Schreibe ${\sqrt{10}}^{2}$ als $10$ um.

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Schritt 4.6.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{10}$ als $10^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.6.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.6.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.6.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.6.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.6.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{10}$

Schritt 4.6.6.5

Berechne den Exponenten.

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{10}$

Schritt 5

Approximiere das Ergebnis.

$\sin (θ) = - \frac{3 \sqrt{10}}{10} \approx - 0.94868329$