Trigonometrie Beispiele

$(\frac{1}{4}, \frac{1}{3})$

Schritt 1

Um den $\sin (θ)$ zwischen der x-Achse und der Geraden zwischen den Punkten $(0, 0)$ und $(\frac{1}{4}, \frac{1}{3})$ zu ermitteln, zeichne das Dreieck zwischen den drei Punkten $(0, 0)$ , $(\frac{1}{4}, 0)$ und $(\frac{1}{4}, \frac{1}{3})$ .

Gegenüberliegend : $\frac{1}{3}$

Ankathete : $\frac{1}{4}$

Schritt 2

Berechne die Hypotenuse unter Anwendung des Satzes von Pythagoras $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{4}$ an.

$\sqrt{\frac{1^{2}}{4^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\sqrt{\frac{1}{4^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 2.3

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{16} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 2.4

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{3}$ an.

$\sqrt{\frac{1}{16} + \frac{1^{2}}{3^{2}}}$

Schritt 2.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\sqrt{\frac{1}{16} + \frac{1}{3^{2}}}$

Schritt 2.6

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{16} + \frac{1}{9}}$

Schritt 2.7

Um $\frac{1}{16}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{1}{16} \cdot \frac{9}{9} + \frac{1}{9}}$

Schritt 2.8

Um $\frac{1}{9}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{1}{16} \cdot \frac{9}{9} + \frac{1}{9} \cdot \frac{16}{16}}$

Schritt 2.9

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $144$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.9.1

Mutltipliziere $\frac{1}{16}$ mit $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{9}{16 \cdot 9} + \frac{1}{9} \cdot \frac{16}{16}}$

Schritt 2.9.2

Mutltipliziere $16$ mit $9$ .

$\sqrt{\frac{9}{144} + \frac{1}{9} \cdot \frac{16}{16}}$

Schritt 2.9.3

Mutltipliziere $\frac{1}{9}$ mit $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{9}{144} + \frac{16}{9 \cdot 16}}$

Schritt 2.9.4

Mutltipliziere $9$ mit $16$ .

$\sqrt{\frac{9}{144} + \frac{16}{144}}$

Schritt 2.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{9 + 16}{144}}$

Schritt 2.11

Addiere $9$ und $16$ .

$\sqrt{\frac{25}{144}}$

Schritt 2.12

Schreibe $\sqrt{\frac{25}{144}}$ als $\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{144}}$ um.

$\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{144}}$

Schritt 2.13

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.13.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{144}}$

Schritt 2.13.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{5}{\sqrt{144}}$

Schritt 2.14

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.14.1

Schreibe $144$ als $12^{2}$ um.

$\frac{5}{\sqrt{12^{2}}}$

Schritt 2.14.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{5}{12}$

Schritt 3

Aus $\sin (θ) = \frac{Gegenüberliegend}{Hypotenuse}$ folgt $\sin (θ) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{5}{12}}$ .

$\frac{\frac{1}{3}}{\frac{5}{12}}$

Schritt 4

Vereinfache $\sin (θ)$ .

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Schritt 4.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\sin (θ) = \frac{1}{3} \cdot \frac{12}{5}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$\sin (θ) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3 (4)}{5}$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (θ) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 4}{5}$

Schritt 4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sin (θ) = \frac{4}{5}$

Schritt 5

Approximiere das Ergebnis.

$\sin (θ) = \frac{4}{5} \approx 0.8$