Trigonometrie Beispiele

$(\frac{1}{2}, \frac{4}{9})$

Schritt 1

Um den $\sin (θ)$ zwischen der x-Achse und der Geraden zwischen den Punkten $(0, 0)$ und $(\frac{1}{2}, \frac{4}{9})$ zu ermitteln, zeichne das Dreieck zwischen den drei Punkten $(0, 0)$ , $(\frac{1}{2}, 0)$ und $(\frac{1}{2}, \frac{4}{9})$ .

Gegenüberliegend : $\frac{4}{9}$

Ankathete : $\frac{1}{2}$

Schritt 2

Berechne die Hypotenuse unter Anwendung des Satzes von Pythagoras $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$\sqrt{\frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\frac{4}{9})}^{2}}$

Schritt 2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\sqrt{\frac{1}{2^{2}} + {(\frac{4}{9})}^{2}}$

Schritt 2.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + {(\frac{4}{9})}^{2}}$

Schritt 2.4

Wende die Produktregel auf $\frac{4}{9}$ an.

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{4^{2}}{9^{2}}}$

Schritt 2.5

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{16}{9^{2}}}$

Schritt 2.6

Potenziere $9$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{16}{81}}$

Schritt 2.7

Um $\frac{1}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{81}{81}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{81}{81} + \frac{16}{81}}$

Schritt 2.8

Um $\frac{16}{81}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{81}{81} + \frac{16}{81} \cdot \frac{4}{4}}$

Schritt 2.9

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $324$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.9.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{81}{81}$ .

$\sqrt{\frac{81}{4 \cdot 81} + \frac{16}{81} \cdot \frac{4}{4}}$

Schritt 2.9.2

Mutltipliziere $4$ mit $81$ .

$\sqrt{\frac{81}{324} + \frac{16}{81} \cdot \frac{4}{4}}$

Schritt 2.9.3

Mutltipliziere $\frac{16}{81}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{81}{324} + \frac{16 \cdot 4}{81 \cdot 4}}$

Schritt 2.9.4

Mutltipliziere $81$ mit $4$ .

$\sqrt{\frac{81}{324} + \frac{16 \cdot 4}{324}}$

Schritt 2.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{81 + 16 \cdot 4}{324}}$

Schritt 2.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.11.1

Mutltipliziere $16$ mit $4$ .

$\sqrt{\frac{81 + 64}{324}}$

Schritt 2.11.2

Addiere $81$ und $64$ .

$\sqrt{\frac{145}{324}}$

Schritt 2.12

Schreibe $\sqrt{\frac{145}{324}}$ als $\frac{\sqrt{145}}{\sqrt{324}}$ um.

$\frac{\sqrt{145}}{\sqrt{324}}$

Schritt 2.13

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.13.1

Schreibe $324$ als $18^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{145}}{\sqrt{18^{2}}}$

Schritt 2.13.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{\sqrt{145}}{18}$

Schritt 3

Aus $\sin (θ) = \frac{Gegenüberliegend}{Hypotenuse}$ folgt $\sin (θ) = \frac{\frac{4}{9}}{\frac{\sqrt{145}}{18}}$ .

$\frac{\frac{4}{9}}{\frac{\sqrt{145}}{18}}$

Schritt 4

Vereinfache $\sin (θ)$ .

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Schritt 4.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\sin (θ) = \frac{4}{9} \cdot \frac{18}{\sqrt{145}}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $9$ aus $18$ heraus.

$\sin (θ) = \frac{4}{9} \cdot \frac{9 (2)}{\sqrt{145}}$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (θ) = \frac{4}{9} \cdot \frac{9 \cdot 2}{\sqrt{145}}$

Schritt 4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sin (θ) = 4 (\frac{2}{\sqrt{145}})$

Schritt 4.3

Kombiniere $4$ und $\frac{2}{\sqrt{145}}$ .

$\sin (θ) = \frac{4 \cdot 2}{\sqrt{145}}$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\sin (θ) = \frac{8}{\sqrt{145}}$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $\frac{8}{\sqrt{145}}$ mit $\frac{\sqrt{145}}{\sqrt{145}}$ .

$\sin (θ) = \frac{8}{\sqrt{145}} \cdot \frac{\sqrt{145}}{\sqrt{145}}$

Schritt 4.6

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.6.1

Mutltipliziere $\frac{8}{\sqrt{145}}$ mit $\frac{\sqrt{145}}{\sqrt{145}}$ .

$\sin (θ) = \frac{8 \sqrt{145}}{\sqrt{145} \sqrt{145}}$

Schritt 4.6.2

Potenziere $\sqrt{145}$ mit $1$ .

$\sin (θ) = \frac{8 \sqrt{145}}{\sqrt{145} \sqrt{145}}$

Schritt 4.6.3

Potenziere $\sqrt{145}$ mit $1$ .

$\sin (θ) = \frac{8 \sqrt{145}}{\sqrt{145} \sqrt{145}}$

Schritt 4.6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sin (θ) = \frac{8 \sqrt{145}}{{\sqrt{145}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.6.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin (θ) = \frac{8 \sqrt{145}}{{\sqrt{145}}^{2}}$

Schritt 4.6.6

Schreibe ${\sqrt{145}}^{2}$ als $145$ um.

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Schritt 4.6.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{145}$ als $145^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sin (θ) = \frac{8 \sqrt{145}}{{(145^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.6.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = \frac{8 \sqrt{145}}{145^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.6.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sin (θ) = \frac{8 \sqrt{145}}{145^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.6.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.6.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (θ) = \frac{8 \sqrt{145}}{145^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.6.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (θ) = \frac{8 \sqrt{145}}{145}$

Schritt 4.6.6.5

Berechne den Exponenten.

$\sin (θ) = \frac{8 \sqrt{145}}{145}$

Schritt 5

Approximiere das Ergebnis.

$\sin (θ) = \frac{8 \sqrt{145}}{145} \approx 0.66436383$