Trigonometrie Beispiele

$C = 64.41$ , $B = 54.23$ , $c = 12.75 m$

Schritt 1

Der Sinussatz basiert auf der Proportionalität von Seiten und Winkeln in Dreiecken. Der Satz sagt, dass für die Winkel eines allgemeinen Dreiecks gilt, dass jeder Winkel des Dreiecks das gleiche Verhältnis von Winkelmaß zum Sinus aufweist.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Schritt 2

Setze die bekannten Werte in den Sinussatz ein, um $b$ zu bestimmen.

$\frac{\sin (54.23)}{b} = \frac{\sin (64.41)}{12.75 m}$

Schritt 3

Löse die Gleichung nach $b$ auf.

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Schritt 3.1

Faktorisiere jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Berechne $\sin (54.23)$ .

$\frac{0.81136999}{b} = \frac{\sin (64.41)}{12.75 m}$

Schritt 3.1.2

Berechne $\sin (64.41)$ .

$\frac{0.81136999}{b} = \frac{0.90190792}{12.75 m}$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $0.90190792$ aus $0.90190792$ heraus.

$\frac{0.81136999}{b} = \frac{0.90190792 (1)}{12.75 m}$

Schritt 3.1.4

Faktorisiere $12.75$ aus $12.75 m$ heraus.

$\frac{0.81136999}{b} = \frac{0.90190792 (1)}{12.75 (m)}$

Schritt 3.1.5

Separiere Brüche.

$\frac{0.81136999}{b} = \frac{0.90190792}{12.75} \cdot \frac{1}{m}$

Schritt 3.1.6

Dividiere $0.90190792$ durch $12.75$ .

$\frac{0.81136999}{b} = 0.07073787 \frac{1}{m}$

Schritt 3.1.7

Kombiniere $0.07073787$ und $\frac{1}{m}$ .

$\frac{0.81136999}{b} = \frac{0.07073787}{m}$

Schritt 3.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$b, m$

Schritt 3.2.2

Since $b, m$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1$ then find LCM for the variable part $b^{1}, m^{1}$ .

Schritt 3.2.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 3.2.4

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 3.2.5

Das kgV von $1, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$1$

Schritt 3.2.6

Der Teiler von $b^{1}$ ist $b$ selbst.

$b^{1} = b$

$b$ occurs $1$ time.

Schritt 3.2.7

Der Teiler von $m^{1}$ ist $m$ selbst.

$m^{1} = m$

$m$ occurs $1$ time.

Schritt 3.2.8

Das kgV von $b^{1}, m^{1}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$b \cdot m$

Schritt 3.2.9

Mutltipliziere $b$ mit $m$ .

$b m$

Schritt 3.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{0.81136999}{b} = \frac{0.07073787}{m}$ mit $b m$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{0.81136999}{b} = \frac{0.07073787}{m}$ mit $b m$ .

$\frac{0.81136999}{b} (b m) = \frac{0.07073787}{m} (b m)$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $b$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Faktorisiere $b$ aus $b m$ heraus.

$\frac{0.81136999}{b} (b (m)) = \frac{0.07073787}{m} (b m)$

Schritt 3.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{0.81136999}{b} (b m) = \frac{0.07073787}{m} (b m)$

Schritt 3.3.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$0.81136999 m = \frac{0.07073787}{m} (b m)$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $m$ .

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Schritt 3.3.3.1.1

Faktorisiere $m$ aus $b m$ heraus.

$0.81136999 m = \frac{0.07073787}{m} (m b)$

Schritt 3.3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0.81136999 m = \frac{0.07073787}{m} (m b)$

Schritt 3.3.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$0.81136999 m = 0.07073787 b$

Schritt 3.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Schreibe die Gleichung als $0.07073787 b = 0.81136999 m$ um.

$0.07073787 b = 0.81136999 m$

Schritt 3.4.2

Teile jeden Ausdruck in $0.07073787 b = 0.81136999 m$ durch $0.07073787$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $0.07073787 b = 0.81136999 m$ durch $0.07073787$ .

$\frac{0.07073787 b}{0.07073787} = \frac{0.81136999 m}{0.07073787}$

Schritt 3.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $0.07073787$ .

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Schritt 3.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{0.07073787 b}{0.07073787} = \frac{0.81136999 m}{0.07073787}$

Schritt 3.4.2.2.1.2

Dividiere $b$ durch $1$ .

$b = \frac{0.81136999 m}{0.07073787}$

Schritt 3.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.3.1

Faktorisiere $0.81136999$ aus $0.81136999 m$ heraus.

$b = \frac{0.81136999 (m)}{0.07073787}$

Schritt 3.4.2.3.2

Faktorisiere $0.07073787$ aus $0.07073787$ heraus.

$b = \frac{0.81136999 (m)}{0.07073787 (1)}$

Schritt 3.4.2.3.3

Separiere Brüche.

$b = \frac{0.81136999}{0.07073787} \cdot \frac{m}{1}$

Schritt 3.4.2.3.4

Dividiere $0.81136999$ durch $0.07073787$ .

$b = 11.47009255 \frac{m}{1}$

Schritt 3.4.2.3.5

Dividiere $m$ durch $1$ .

$b = 11.47009255 m$

Schritt 4

Die Summe aller Winkel in einem Dreieck ist $180$ Grad.

$A + 64.41 + 54.23 = 180$

Schritt 5

Löse die Gleichung nach $A$ auf.

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Schritt 5.1

Addiere $64.41$ und $54.23$ .

$A + 118.64 = 180$

Schritt 5.2

Bringe alle Terme, die nicht $A$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $118.64$ von beiden Seiten der Gleichung.

$A = 180 - 118.64$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $118.64$ von $180$ .

$A = 61.36$

Schritt 6

Verwende den Kosinussatz, um die unbekannte Seite des Dreiecks zu bestimmen, wenn die anderen zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben sind.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Schritt 7

Löse die Gleichung.

$a = \sqrt{b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)}$

Schritt 8

Setze die bekannten Werte in die Gleichung ein.

$a = \sqrt{{(11.47009255 m)}^{2} + {(12.75 m)}^{2} - 2 (11.47009255 m) (12.75 m) \cos (61.36)}$

Schritt 9

Vereinfache die Ergebnisse.

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Schritt 9.1

Wende die Produktregel auf $11.47009255 m$ an.

$a = \sqrt{{11.47009255}^{2} m^{2} + {(12.75 m)}^{2} - 2 (11.47009255 m) (12.75 m) \cos (61.36)}$

Schritt 9.2

Potenziere $11.47009255$ mit $2$ .

$a = \sqrt{131.56302318 m^{2} + {(12.75 m)}^{2} - 2 (11.47009255 m) (12.75 m) \cos (61.36)}$

Schritt 9.3

Wende die Produktregel auf $12.75 m$ an.

$a = \sqrt{131.56302318 m^{2} + {12.75}^{2} m^{2} - 2 (11.47009255 m) (12.75 m) \cos (61.36)}$

Schritt 9.4

Potenziere $12.75$ mit $2$ .

$a = \sqrt{131.56302318 m^{2} + 162.5625 m^{2} - 2 (11.47009255 m) (12.75 m) \cos (61.36)}$

Schritt 9.5

Multipliziere $m$ mit $m$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 9.5.1

Bewege $m$ .

$a = \sqrt{131.56302318 m^{2} + 162.5625 m^{2} - 2 (11.47009255 (m \cdot m)) \cdot (12.75 \cos (61.36))}$

Schritt 9.5.2

Mutltipliziere $m$ mit $m$ .

$a = \sqrt{131.56302318 m^{2} + 162.5625 m^{2} - 2 (11.47009255 m^{2}) \cdot (12.75 \cos (61.36))}$

Schritt 9.6

Multipliziere.

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Schritt 9.6.1

Mutltipliziere $11.47009255$ mit $- 2$ .

$a = \sqrt{131.56302318 m^{2} + 162.5625 m^{2} - 22.9401851 m^{2} \cdot (12.75 \cos (61.36))}$

Schritt 9.6.2

Mutltipliziere $12.75$ mit $- 22.9401851$ .

$a = \sqrt{131.56302318 m^{2} + 162.5625 m^{2} - 292.48736011 m^{2} \cos (61.36)}$

Schritt 9.7

Mutltipliziere $\cos (61.36)$ mit $- 292.48736011$ .

$a = \sqrt{131.56302318 m^{2} + 162.5625 m^{2} - 140.19056316 m^{2}}$

Schritt 9.8

Addiere $131.56302318 m^{2}$ und $162.5625 m^{2}$ .

$a = \sqrt{294.12552318 m^{2} - 140.19056316 m^{2}}$

Schritt 9.9

Subtrahiere $140.19056316 m^{2}$ von $294.12552318 m^{2}$ .

$a = \sqrt{153.93496001 m^{2}}$

Schritt 9.10

Schreibe $153.93496001 m^{2}$ als ${(12.40705283 m)}^{2}$ um.

$a = \sqrt{{(12.40705283 m)}^{2}}$

Schritt 9.11

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$a = 12.40705283 m$

Schritt 10

Dies sind die Ergebnisse für alle Winkel und Seiten des gegebenen Dreiecks.

$A = 61.36$

$B = 54.23$

$C = 64.41$

$a = 12.40705283 m$

$b = 11.47009255 m$

$c = 12.75 m$