Trigonometrie Beispiele

$b = 8$ , $c = 10$ , $B = 30$

Schritt 1

Der Sinussatz bringt ein uneindeutiges Ergebnis für den Winkel hervor. Das bedeutet, dass es $2$ Winkel gibt, die die Gleichung erfüllen. Wende den ersten möglichen Winkelwert für das erste Dreieck an.

Löse für das erste Dreieck.

Schritt 2

Der Sinussatz basiert auf der Proportionalität von Seiten und Winkeln in Dreiecken. Der Satz sagt, dass für die Winkel eines allgemeinen Dreiecks gilt, dass jeder Winkel des Dreiecks das gleiche Verhältnis von Winkelmaß zum Sinus aufweist.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Schritt 3

Setze die bekannten Werte in den Sinussatz ein, um $C$ zu bestimmen.

$\frac{\sin (C)}{10} = \frac{\sin (30)}{8}$

Schritt 4

Löse die Gleichung nach $C$ auf.

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Schritt 4.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $10$ .

$10 \frac{\sin (C)}{10} = 10 \frac{\sin (30)}{8}$

Schritt 4.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

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Schritt 4.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$10 \frac{\sin (C)}{10} = 10 \frac{\sin (30)}{8}$

Schritt 4.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (C) = 10 \frac{\sin (30)}{8}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache $10 \frac{\sin (30)}{8}$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$\sin (C) = 2 (5) \frac{\sin (30)}{8}$

Schritt 4.2.2.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\sin (C) = 2 \cdot 5 \frac{\sin (30)}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.2.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (C) = 2 \cdot 5 \frac{\sin (30)}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.2.2.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$\sin (C) = 5 \frac{\sin (30)}{4}$

Schritt 4.2.2.1.2

Kombiniere $5$ und $\frac{\sin (30)}{4}$ .

$\sin (C) = \frac{5 \sin (30)}{4}$

Schritt 4.2.2.1.3

Der genau Wert von $\sin (30)$ ist $\frac{1}{2}$ .

$\sin (C) = \frac{5 (\frac{1}{2})}{4}$

Schritt 4.2.2.1.4

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{2}$ .

$\sin (C) = \frac{\frac{5}{2}}{4}$

Schritt 4.2.2.1.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\sin (C) = \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Schritt 4.2.2.1.6

Multipliziere $\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Schritt 4.2.2.1.6.1

Mutltipliziere $\frac{5}{2}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$\sin (C) = \frac{5}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.2.2.1.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\sin (C) = \frac{5}{8}$

Schritt 4.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $C$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$C = \arcsin (\frac{5}{8})$

Schritt 4.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.4.1

Berechne $\arcsin (\frac{5}{8})$ .

$C = 38.68218745$

Schritt 4.5

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $180$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$C = 180 - 38.68218745$

Schritt 4.6

Subtrahiere $38.68218745$ von $180$ .

$C = 141.31781254$

Schritt 4.7

Die Lösung der Gleichung $C = 38.68218745$ .

$C = 38.68218745, 141.31781254$

Schritt 5

Die Summe aller Winkel in einem Dreieck ist $180$ Grad.

$A + 38.68218745 + 30 = 180$

Schritt 6

Löse die Gleichung nach $A$ auf.

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Schritt 6.1

Addiere $38.68218745$ und $30$ .

$A + 68.68218745 = 180$

Schritt 6.2

Bringe alle Terme, die nicht $A$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.2.1

Subtrahiere $68.68218745$ von beiden Seiten der Gleichung.

$A = 180 - 68.68218745$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $68.68218745$ von $180$ .

$A = 111.31781254$

Schritt 7

Verwende den Kosinussatz, um die unbekannte Seite des Dreiecks zu bestimmen, wenn die anderen zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben sind.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Schritt 8

Löse die Gleichung.

$a = \sqrt{b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)}$

Schritt 9

Setze die bekannten Werte in die Gleichung ein.

$a = \sqrt{{(8)}^{2} + {(10)}^{2} - 2 \cdot 8 \cdot 10 \cos (111.31781254)}$

Schritt 10

Vereinfache die Ergebnisse.

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Schritt 10.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$a = \sqrt{64 + {(10)}^{2} - 2 \cdot 8 \cdot (10 \cos (111.31781254))}$

Schritt 10.2

Potenziere $10$ mit $2$ .

$a = \sqrt{64 + 100 - 2 \cdot 8 \cdot (10 \cos (111.31781254))}$

Schritt 10.3

Multipliziere $- 2 \cdot 8 \cdot 10$ .

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Schritt 10.3.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $8$ .

$a = \sqrt{64 + 100 - 16 \cdot (10 \cos (111.31781254))}$

Schritt 10.3.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $10$ .

$a = \sqrt{64 + 100 - 160 \cos (111.31781254)}$

Schritt 10.4

Addiere $64$ und $100$ .

$a = \sqrt{164 - 160 \cos (111.31781254)}$

Schritt 10.5

Schreibe $164 - 160 \cos (111.31781254)$ als $2^{2} (41 - 40 \cos (111.31781254))$ um.

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Schritt 10.5.1

Faktorisiere $4$ aus $164$ heraus.

$a = \sqrt{4 (41) - 160 \cos (111.31781254)}$

Schritt 10.5.2

Faktorisiere $4$ aus $- 160 \cos (111.31781254)$ heraus.

$a = \sqrt{4 (41) + 4 (- 40 \cos (111.31781254))}$

Schritt 10.5.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (41) + 4 (- 40 \cos (111.31781254))$ heraus.

$a = \sqrt{4 (41 - 40 \cos (111.31781254))}$

Schritt 10.5.4

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$a = \sqrt{2^{2} (41 - 40 \cos (111.31781254))}$

Schritt 10.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$a = 2 \sqrt{41 - 40 \cos (111.31781254)}$

Schritt 11

Wende den zweiten möglichen Winkelwert für das zweite Dreieck an.

Löse für das zweite Dreieck.

Schritt 12

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Schritt 13

Setze die bekannten Werte in den Sinussatz ein, um $C$ zu bestimmen.

$\frac{\sin (C)}{10} = \frac{\sin (30)}{8}$

Schritt 14

Löse die Gleichung nach $C$ auf.

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Schritt 14.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $10$ .

$10 \frac{\sin (C)}{10} = 10 \frac{\sin (30)}{8}$

Schritt 14.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 14.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 14.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

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Schritt 14.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$10 \frac{\sin (C)}{10} = 10 \frac{\sin (30)}{8}$

Schritt 14.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (C) = 10 \frac{\sin (30)}{8}$

Schritt 14.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 14.2.2.1

Vereinfache $10 \frac{\sin (30)}{8}$ .

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Schritt 14.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 14.2.2.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$\sin (C) = 2 (5) \frac{\sin (30)}{8}$

Schritt 14.2.2.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\sin (C) = 2 \cdot 5 \frac{\sin (30)}{2 \cdot 4}$

Schritt 14.2.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (C) = 2 \cdot 5 \frac{\sin (30)}{2 \cdot 4}$

Schritt 14.2.2.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$\sin (C) = 5 \frac{\sin (30)}{4}$

Schritt 14.2.2.1.2

Kombiniere $5$ und $\frac{\sin (30)}{4}$ .

$\sin (C) = \frac{5 \sin (30)}{4}$

Schritt 14.2.2.1.3

Der genau Wert von $\sin (30)$ ist $\frac{1}{2}$ .

$\sin (C) = \frac{5 (\frac{1}{2})}{4}$

Schritt 14.2.2.1.4

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{2}$ .

$\sin (C) = \frac{\frac{5}{2}}{4}$

Schritt 14.2.2.1.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\sin (C) = \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Schritt 14.2.2.1.6

Multipliziere $\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Schritt 14.2.2.1.6.1

Mutltipliziere $\frac{5}{2}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$\sin (C) = \frac{5}{2 \cdot 4}$

Schritt 14.2.2.1.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\sin (C) = \frac{5}{8}$

Schritt 14.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $C$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$C = \arcsin (\frac{5}{8})$

Schritt 14.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 14.4.1

Berechne $\arcsin (\frac{5}{8})$ .

$C = 38.68218745$

Schritt 14.5

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $180$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$C = 180 - 38.68218745$

Schritt 14.6

Subtrahiere $38.68218745$ von $180$ .

$C = 141.31781254$

Schritt 14.7

Die Lösung der Gleichung $C = 38.68218745$ .

$C = 38.68218745, 141.31781254$

Schritt 15

Die Summe aller Winkel in einem Dreieck ist $180$ Grad.

$A + 141.31781254 + 30 = 180$

Schritt 16

Löse die Gleichung nach $A$ auf.

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Schritt 16.1

Addiere $141.31781254$ und $30$ .

$A + 171.31781254 = 180$

Schritt 16.2

Bringe alle Terme, die nicht $A$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 16.2.1

Subtrahiere $171.31781254$ von beiden Seiten der Gleichung.

$A = 180 - 171.31781254$

Schritt 16.2.2

Subtrahiere $171.31781254$ von $180$ .

$A = 8.68218745$

Schritt 17

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Schritt 18

Setze die bekannten Werte in den Sinussatz ein, um $a$ zu bestimmen.

$\frac{\sin (8.68218745)}{a} = \frac{\sin (30)}{8}$

Schritt 19

Löse die Gleichung nach $a$ auf.

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Schritt 19.1

Faktorisiere jeden Term.

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Schritt 19.1.1

Berechne $\sin (8.68218745)$ .

$\frac{0.1509535}{a} = \frac{\sin (30)}{8}$

Schritt 19.1.2

Der genau Wert von $\sin (30)$ ist $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0.1509535}{a} = \frac{\frac{1}{2}}{8}$

Schritt 19.1.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{0.1509535}{a} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8}$

Schritt 19.1.4

Multipliziere $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8}$ .

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Schritt 19.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{8}$ .

$\frac{0.1509535}{a} = \frac{1}{2 \cdot 8}$

Schritt 19.1.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$\frac{0.1509535}{a} = \frac{1}{16}$

Schritt 19.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 19.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$a, 16$

Schritt 19.2.2

Since $a, 16$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 16$ then find LCM for the variable part $a^{1}$ .

Schritt 19.2.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 19.2.4

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 19.2.5

Die Primfaktoren von $16$ sind $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Schritt 19.2.5.1

$16$ hat Faktoren von $2$ und $8$ .

$2 \cdot 8$

Schritt 19.2.5.2

$8$ hat Faktoren von $2$ und $4$ .

$2 \cdot 2 \cdot 4$

Schritt 19.2.5.3

$4$ hat Faktoren von $2$ und $2$ .

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

Schritt 19.2.6

Multipliziere $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Schritt 19.2.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 \cdot 2 \cdot 2$

Schritt 19.2.6.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$8 \cdot 2$

Schritt 19.2.6.3

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$16$

Schritt 19.2.7

Der Teiler von $a^{1}$ ist $a$ selbst.

$a^{1} = a$

$a$ occurs $1$ time.

Schritt 19.2.8

Das kgV von $a^{1}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$a$

Schritt 19.2.9

Das kgV von $a, 16$ ist der numerische Teil $16$ multipliziert mit dem variablen Teil.

$16 a$

Schritt 19.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{0.1509535}{a} = \frac{1}{16}$ mit $16 a$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 19.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{0.1509535}{a} = \frac{1}{16}$ mit $16 a$ .

$\frac{0.1509535}{a} (16 a) = \frac{1}{16} (16 a)$

Schritt 19.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 19.3.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$16 \frac{0.1509535}{a} a = \frac{1}{16} (16 a)$

Schritt 19.3.2.2

Multipliziere $16 \frac{0.1509535}{a}$ .

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Schritt 19.3.2.2.1

Kombiniere $16$ und $\frac{0.1509535}{a}$ .

$\frac{16 \cdot 0.1509535}{a} a = \frac{1}{16} (16 a)$

Schritt 19.3.2.2.2

Mutltipliziere $16$ mit $0.1509535$ .

$\frac{2.41525603}{a} a = \frac{1}{16} (16 a)$

Schritt 19.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a$ .

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Schritt 19.3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2.41525603}{a} a = \frac{1}{16} (16 a)$

Schritt 19.3.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$2.41525603 = \frac{1}{16} (16 a)$

Schritt 19.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 19.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $16$ .

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Schritt 19.3.3.1.1

Faktorisiere $16$ aus $16 a$ heraus.

$2.41525603 = \frac{1}{16} (16 (a))$

Schritt 19.3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2.41525603 = \frac{1}{16} (16 a)$

Schritt 19.3.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$2.41525603 = a$

Schritt 19.4

Schreibe die Gleichung als $a = 2.41525603$ um.

$a = 2.41525603$

Schritt 20

Dies sind die Ergebnisse für alle Winkel und Seiten des gegebenen Dreiecks.

Erste Dreieckskombination:

$A = 111.31781254$

$B = 30$

$C = 38.68218745$

$a = 2 \sqrt{41 - 40 \cos (111.31781254)}$

$b = 8$

$c = 10$

Zweite Dreickskombination:

$A = 8.68218745$

$B = 30$

$C = 141.31781254$

$a = 2.41525603$

$b = 8$

$c = 10$