Trigonometrie Beispiele

$B = 90$ , $a = 15$ , $c = 6$

Schritt 1

Berechne die übrig gebliebene Seite unter Anwendung des Satzes von Pythagoras.

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Schritt 1.1

Wende den Satz des Pythagoras an, um die unbekannte Seite zu bestimmen. In jedem rechtwinkligen Dreieck ist die Fläche des Quadrates, dessen Seite die Hypotenuse (die Seite eines rechtwinkligen Dreiecks gegenüber dem rechten Winkel) ist, gleich der Summe der Flächen der Quadrate, deren Seiten die beiden Schenkel sind (die zwei Seiten, die nicht die Hypotenuse sind).

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung nach $b$ auf.

$b = \sqrt{c^{2} + a^{2}}$

Schritt 1.3

Setze die tatsächlichen Werte in die Gleichung ein.

$b = \sqrt{{(6)}^{2} + {(15)}^{2}}$

Schritt 1.4

Potenziere $6$ mit $2$ .

$b = \sqrt{36 + {(15)}^{2}}$

Schritt 1.5

Potenziere $15$ mit $2$ .

$b = \sqrt{36 + 225}$

Schritt 1.6

Addiere $36$ und $225$ .

$b = \sqrt{261}$

Schritt 1.7

Schreibe $261$ als $3^{2} \cdot 29$ um.

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Schritt 1.7.1

Faktorisiere $9$ aus $261$ heraus.

$b = \sqrt{9 (29)}$

Schritt 1.7.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$b = \sqrt{3^{2} \cdot 29}$

Schritt 1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$b = 3 \sqrt{29}$

Schritt 2

Ermittle $C$ .

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Schritt 2.1

Der Winkel $C$ kann durch Anwendung der inversen Sinusfunktion ermittelt werden.

$C = \arcsin (\frac{opp}{hyp})$

Schritt 2.2

Setze die Werte der Gegenkathete des Winkels $C$ und der Hypotenuse $3 \sqrt{29}$ des Dreiecks ein.

$C = \arcsin (\frac{6}{3 \sqrt{29}})$

Schritt 2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $3$ .

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Schritt 2.3.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$C = \arcsin (\frac{3 \cdot 2}{3 \sqrt{29}})$

Schritt 2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 \sqrt{29}$ heraus.

$C = \arcsin (\frac{3 \cdot 2}{3 (\sqrt{29})})$

Schritt 2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$C = \arcsin (\frac{3 \cdot 2}{3 \sqrt{29}})$

Schritt 2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$C = \arcsin (\frac{2}{\sqrt{29}})$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{29}}$ mit $\frac{\sqrt{29}}{\sqrt{29}}$ .

$C = \arcsin (\frac{2}{\sqrt{29}} \cdot \frac{\sqrt{29}}{\sqrt{29}})$

Schritt 2.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.5.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{29}}$ mit $\frac{\sqrt{29}}{\sqrt{29}}$ .

$C = \arcsin (\frac{2 \sqrt{29}}{\sqrt{29} \sqrt{29}})$

Schritt 2.5.2

Potenziere $\sqrt{29}$ mit $1$ .

$C = \arcsin (\frac{2 \sqrt{29}}{\sqrt{29} \sqrt{29}})$

Schritt 2.5.3

Potenziere $\sqrt{29}$ mit $1$ .

$C = \arcsin (\frac{2 \sqrt{29}}{\sqrt{29} \sqrt{29}})$

Schritt 2.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$C = \arcsin (\frac{2 \sqrt{29}}{{\sqrt{29}}^{1 + 1}})$

Schritt 2.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$C = \arcsin (\frac{2 \sqrt{29}}{{\sqrt{29}}^{2}})$

Schritt 2.5.6

Schreibe ${\sqrt{29}}^{2}$ als $29$ um.

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Schritt 2.5.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{29}$ als $29^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$C = \arcsin (\frac{2 \sqrt{29}}{{(29^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Schritt 2.5.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$C = \arcsin (\frac{2 \sqrt{29}}{29^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Schritt 2.5.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$C = \arcsin (\frac{2 \sqrt{29}}{29^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 2.5.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.5.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$C = \arcsin (\frac{2 \sqrt{29}}{29^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 2.5.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$C = \arcsin (\frac{2 \sqrt{29}}{29})$

Schritt 2.5.6.5

Berechne den Exponenten.

$C = \arcsin (\frac{2 \sqrt{29}}{29})$

Schritt 2.6

Berechne $\arcsin (\frac{2 \sqrt{29}}{29})$ .

$C = 21.80140948$

Schritt 3

Bestimme den verbleibenden Winkel des Dreiecks.

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Schritt 3.1

Die Summe aller Winkel in einem Dreieck ist $180$ Grad.

$A + 21.80140948 + 90 = 180$

Schritt 3.2

Löse die Gleichung nach $A$ auf.

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Schritt 3.2.1

Addiere $21.80140948$ und $90$ .

$A + 111.80140948 = 180$

Schritt 3.2.2

Bringe alle Terme, die nicht $A$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.2.1

Subtrahiere $111.80140948$ von beiden Seiten der Gleichung.

$A = 180 - 111.80140948$

Schritt 3.2.2.2

Subtrahiere $111.80140948$ von $180$ .

$A = 68.19859051$

Schritt 4

Dies sind die Ergebnisse für alle Winkel und Seiten des gegebenen Dreiecks.

$A = 68.19859051$

$B = 90$

$C = 21.80140948$

$a = 15$

$b = 3 \sqrt{29}$

$c = 6$