Trigonometrie Beispiele

$C = 30$ , $a = 32$ , $c = 16$

Schritt 1

Der Sinussatz bringt ein uneindeutiges Ergebnis für den Winkel hervor. Das bedeutet, dass es $2$ Winkel gibt, die die Gleichung erfüllen. Wende den ersten möglichen Winkelwert für das erste Dreieck an.

Löse für das erste Dreieck.

Schritt 2

Der Sinussatz basiert auf der Proportionalität von Seiten und Winkeln in Dreiecken. Der Satz sagt, dass für die Winkel eines allgemeinen Dreiecks gilt, dass jeder Winkel des Dreiecks das gleiche Verhältnis von Winkelmaß zum Sinus aufweist.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Schritt 3

Setze die bekannten Werte in den Sinussatz ein, um $A$ zu bestimmen.

$\frac{\sin (A)}{32} = \frac{\sin (30)}{16}$

Schritt 4

Löse die Gleichung nach $A$ auf.

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Schritt 4.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $32$ .

$32 \frac{\sin (A)}{32} = 32 \frac{\sin (30)}{16}$

Schritt 4.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $32$ .

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Schritt 4.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$32 \frac{\sin (A)}{32} = 32 \frac{\sin (30)}{16}$

Schritt 4.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (A) = 32 \frac{\sin (30)}{16}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache $32 \frac{\sin (30)}{16}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $16$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1.1.1

Faktorisiere $16$ aus $32$ heraus.

$\sin (A) = 16 (2) \frac{\sin (30)}{16}$

Schritt 4.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (A) = 16 \cdot 2 \frac{\sin (30)}{16}$

Schritt 4.2.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\sin (A) = 2 \sin (30)$

Schritt 4.2.2.1.2

Der genau Wert von $\sin (30)$ ist $\frac{1}{2}$ .

$\sin (A) = 2 (\frac{1}{2})$

Schritt 4.2.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (A) = 2 (\frac{1}{2})$

Schritt 4.2.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (A) = 1$

Schritt 4.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $A$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$A = \arcsin (1)$

Schritt 4.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.4.1

Der genau Wert von $\arcsin (1)$ ist $90$ .

$A = 90$

Schritt 4.5

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $180$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$A = 180 - 90$

Schritt 4.6

Subtrahiere $90$ von $180$ .

$A = 90$

Schritt 4.7

Die Lösung der Gleichung $A = 90$ .

$A = 90, 90$

Schritt 5

Die Summe aller Winkel in einem Dreieck ist $180$ Grad.

$90 + 30 + B = 180$

Schritt 6

Löse die Gleichung nach $B$ auf.

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Schritt 6.1

Addiere $90$ und $30$ .

$120 + B = 180$

Schritt 6.2

Bringe alle Terme, die nicht $B$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.2.1

Subtrahiere $120$ von beiden Seiten der Gleichung.

$B = 180 - 120$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $120$ von $180$ .

$B = 60$

Schritt 7

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Schritt 8

Setze die bekannten Werte in den Sinussatz ein, um $b$ zu bestimmen.

$\frac{\sin (60)}{b} = \frac{\sin (90)}{32}$

Schritt 9

Löse die Gleichung nach $b$ auf.

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Schritt 9.1

Faktorisiere jeden Term.

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Schritt 9.1.1

Der genau Wert von $\sin (60)$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{b} = \frac{\sin (90)}{32}$

Schritt 9.1.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{b} = \frac{\sin (90)}{32}$

Schritt 9.1.3

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2}$ mit $\frac{1}{b}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{\sin (90)}{32}$

Schritt 9.1.4

Der genau Wert von $\sin (90)$ ist $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{1}{32}$

Schritt 9.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 9.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$2 b, 32$

Schritt 9.2.2

Since $2 b, 32$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $2, 32$ then find LCM for the variable part $b^{1}$ .

Schritt 9.2.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 9.2.4

Da $2$ keine Teiler außer $1$ und $2$ hat.

$2$ ist eine Primzahl

Schritt 9.2.5

Die Primfaktoren von $32$ sind $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Schritt 9.2.5.1

$32$ hat Faktoren von $2$ und $16$ .

$2 \cdot 16$

Schritt 9.2.5.2

$16$ hat Faktoren von $2$ und $8$ .

$2 \cdot 2 \cdot 8$

Schritt 9.2.5.3

$8$ hat Faktoren von $2$ und $4$ .

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4$

Schritt 9.2.5.4

$4$ hat Faktoren von $2$ und $2$ .

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

Schritt 9.2.6

Multipliziere $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Schritt 9.2.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

Schritt 9.2.6.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$8 \cdot 2 \cdot 2$

Schritt 9.2.6.3

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$16 \cdot 2$

Schritt 9.2.6.4

Mutltipliziere $16$ mit $2$ .

$32$

Schritt 9.2.7

Der Teiler von $b^{1}$ ist $b$ selbst.

$b^{1} = b$

$b$ occurs $1$ time.

Schritt 9.2.8

Das kgV von $b^{1}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$b$

Schritt 9.2.9

Das kgV von $2 b, 32$ ist der numerische Teil $32$ multipliziert mit dem variablen Teil.

$32 b$

Schritt 9.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{1}{32}$ mit $32 b$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 9.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{1}{32}$ mit $32 b$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 b} (32 b) = \frac{1}{32} (32 b)$

Schritt 9.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.3.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$32 \frac{\sqrt{3}}{2 b} b = \frac{1}{32} (32 b)$

Schritt 9.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $32$ heraus.

$2 (16) \frac{\sqrt{3}}{2 b} b = \frac{1}{32} (32 b)$

Schritt 9.3.2.2.2

Faktorisiere $2$ aus $2 b$ heraus.

$2 (16) \frac{\sqrt{3}}{2 (b)} b = \frac{1}{32} (32 b)$

Schritt 9.3.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot 16 \frac{\sqrt{3}}{2 b} b = \frac{1}{32} (32 b)$

Schritt 9.3.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$16 \frac{\sqrt{3}}{b} b = \frac{1}{32} (32 b)$

Schritt 9.3.2.3

Kombiniere $16$ und $\frac{\sqrt{3}}{b}$ .

$\frac{16 \sqrt{3}}{b} b = \frac{1}{32} (32 b)$

Schritt 9.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $b$ .

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Schritt 9.3.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{16 \sqrt{3}}{b} b = \frac{1}{32} (32 b)$

Schritt 9.3.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$16 \sqrt{3} = \frac{1}{32} (32 b)$

Schritt 9.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $32$ .

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Schritt 9.3.3.1.1

Faktorisiere $32$ aus $32 b$ heraus.

$16 \sqrt{3} = \frac{1}{32} (32 (b))$

Schritt 9.3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$16 \sqrt{3} = \frac{1}{32} (32 b)$

Schritt 9.3.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$16 \sqrt{3} = b$

Schritt 9.4

Schreibe die Gleichung als $b = 16 \sqrt{3}$ um.

$b = 16 \sqrt{3}$

Schritt 10

Wende den zweiten möglichen Winkelwert für das zweite Dreieck an.

Löse für das zweite Dreieck.

Schritt 11

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Schritt 12

Setze die bekannten Werte in den Sinussatz ein, um $A$ zu bestimmen.

$\frac{\sin (A)}{32} = \frac{\sin (30)}{16}$

Schritt 13

Löse die Gleichung nach $A$ auf.

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Schritt 13.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $32$ .

$32 \frac{\sin (A)}{32} = 32 \frac{\sin (30)}{16}$

Schritt 13.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 13.2.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $32$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$32 \frac{\sin (A)}{32} = 32 \frac{\sin (30)}{16}$

Schritt 13.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (A) = 32 \frac{\sin (30)}{16}$

Schritt 13.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 13.2.2.1

Vereinfache $32 \frac{\sin (30)}{16}$ .

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Schritt 13.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $16$ .

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Schritt 13.2.2.1.1.1

Faktorisiere $16$ aus $32$ heraus.

$\sin (A) = 16 (2) \frac{\sin (30)}{16}$

Schritt 13.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (A) = 16 \cdot 2 \frac{\sin (30)}{16}$

Schritt 13.2.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\sin (A) = 2 \sin (30)$

Schritt 13.2.2.1.2

Der genau Wert von $\sin (30)$ ist $\frac{1}{2}$ .

$\sin (A) = 2 (\frac{1}{2})$

Schritt 13.2.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.2.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (A) = 2 (\frac{1}{2})$

Schritt 13.2.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (A) = 1$

Schritt 13.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $A$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$A = \arcsin (1)$

Schritt 13.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 13.4.1

Der genau Wert von $\arcsin (1)$ ist $90$ .

$A = 90$

Schritt 13.5

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $180$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$A = 180 - 90$

Schritt 13.6

Subtrahiere $90$ von $180$ .

$A = 90$

Schritt 13.7

Die Lösung der Gleichung $A = 90$ .

$A = 90, 90$

Schritt 14

Die Summe aller Winkel in einem Dreieck ist $180$ Grad.

$90 + 30 + B = 180$

Schritt 15

Löse die Gleichung nach $B$ auf.

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Schritt 15.1

Addiere $90$ und $30$ .

$120 + B = 180$

Schritt 15.2

Bringe alle Terme, die nicht $B$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 15.2.1

Subtrahiere $120$ von beiden Seiten der Gleichung.

$B = 180 - 120$

Schritt 15.2.2

Subtrahiere $120$ von $180$ .

$B = 60$

Schritt 16

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Schritt 17

Setze die bekannten Werte in den Sinussatz ein, um $b$ zu bestimmen.

$\frac{\sin (60)}{b} = \frac{\sin (90)}{32}$

Schritt 18

Löse die Gleichung nach $b$ auf.

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Schritt 18.1

Faktorisiere jeden Term.

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Schritt 18.1.1

Der genau Wert von $\sin (60)$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{b} = \frac{\sin (90)}{32}$

Schritt 18.1.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{b} = \frac{\sin (90)}{32}$

Schritt 18.1.3

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2}$ mit $\frac{1}{b}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{\sin (90)}{32}$

Schritt 18.1.4

Der genau Wert von $\sin (90)$ ist $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{1}{32}$

Schritt 18.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 18.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$2 b, 32$

Schritt 18.2.2

Since $2 b, 32$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $2, 32$ then find LCM for the variable part $b^{1}$ .

Schritt 18.2.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 18.2.4

Da $2$ keine Teiler außer $1$ und $2$ hat.

$2$ ist eine Primzahl

Schritt 18.2.5

Die Primfaktoren von $32$ sind $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Schritt 18.2.5.1

$32$ hat Faktoren von $2$ und $16$ .

$2 \cdot 16$

Schritt 18.2.5.2

$16$ hat Faktoren von $2$ und $8$ .

$2 \cdot 2 \cdot 8$

Schritt 18.2.5.3

$8$ hat Faktoren von $2$ und $4$ .

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4$

Schritt 18.2.5.4

$4$ hat Faktoren von $2$ und $2$ .

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

Schritt 18.2.6

Multipliziere $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.2.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

Schritt 18.2.6.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$8 \cdot 2 \cdot 2$

Schritt 18.2.6.3

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$16 \cdot 2$

Schritt 18.2.6.4

Mutltipliziere $16$ mit $2$ .

$32$

Schritt 18.2.7

Der Teiler von $b^{1}$ ist $b$ selbst.

$b^{1} = b$

$b$ occurs $1$ time.

Schritt 18.2.8

Das kgV von $b^{1}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$b$

Schritt 18.2.9

Das kgV von $2 b, 32$ ist der numerische Teil $32$ multipliziert mit dem variablen Teil.

$32 b$

Schritt 18.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{1}{32}$ mit $32 b$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 18.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{1}{32}$ mit $32 b$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 b} (32 b) = \frac{1}{32} (32 b)$

Schritt 18.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 18.3.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$32 \frac{\sqrt{3}}{2 b} b = \frac{1}{32} (32 b)$

Schritt 18.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 18.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $32$ heraus.

$2 (16) \frac{\sqrt{3}}{2 b} b = \frac{1}{32} (32 b)$

Schritt 18.3.2.2.2

Faktorisiere $2$ aus $2 b$ heraus.

$2 (16) \frac{\sqrt{3}}{2 (b)} b = \frac{1}{32} (32 b)$

Schritt 18.3.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot 16 \frac{\sqrt{3}}{2 b} b = \frac{1}{32} (32 b)$

Schritt 18.3.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$16 \frac{\sqrt{3}}{b} b = \frac{1}{32} (32 b)$

Schritt 18.3.2.3

Kombiniere $16$ und $\frac{\sqrt{3}}{b}$ .

$\frac{16 \sqrt{3}}{b} b = \frac{1}{32} (32 b)$

Schritt 18.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $b$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.3.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{16 \sqrt{3}}{b} b = \frac{1}{32} (32 b)$

Schritt 18.3.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$16 \sqrt{3} = \frac{1}{32} (32 b)$

Schritt 18.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $32$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.3.3.1.1

Faktorisiere $32$ aus $32 b$ heraus.

$16 \sqrt{3} = \frac{1}{32} (32 (b))$

Schritt 18.3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$16 \sqrt{3} = \frac{1}{32} (32 b)$

Schritt 18.3.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$16 \sqrt{3} = b$

Schritt 18.4

Schreibe die Gleichung als $b = 16 \sqrt{3}$ um.

$b = 16 \sqrt{3}$

Schritt 19

Dies sind die Ergebnisse für alle Winkel und Seiten des gegebenen Dreiecks.

Erste Dreieckskombination:

$A = 90$

$B = 60$

$C = 30$

$a = 32$

$b = 16 \sqrt{3}$

$c = 16$

Zweite Dreickskombination:

$A = 90$

$B = 60$

$C = 30$

$a = 32$

$b = 16 \sqrt{3}$

$c = 16$