Trigonometrie Beispiele

$c = 26$ , $b = 53$ , $B = 105$

Schritt 1

Der Sinussatz basiert auf der Proportionalität von Seiten und Winkeln in Dreiecken. Der Satz sagt, dass für die Winkel eines allgemeinen Dreiecks gilt, dass jeder Winkel des Dreiecks das gleiche Verhältnis von Winkelmaß zum Sinus aufweist.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Schritt 2

Setze die bekannten Werte in den Sinussatz ein, um $C$ zu bestimmen.

$\frac{\sin (C)}{26} = \frac{\sin (105)}{53}$

Schritt 3

Löse die Gleichung nach $C$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $26$ .

$26 \frac{\sin (C)}{26} = 26 \frac{\sin (105)}{53}$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $26$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$26 \frac{\sin (C)}{26} = 26 \frac{\sin (105)}{53}$

Schritt 3.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (C) = 26 \frac{\sin (105)}{53}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $26 \frac{\sin (105)}{53}$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Der genau Wert von $\sin (105)$ ist $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

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Schritt 3.2.2.1.1.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$\sin (C) = 26 \frac{\sin (75)}{53}$

Schritt 3.2.2.1.1.2

Teile $75$ in zwei Winkel, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind.

$\sin (C) = 26 \frac{\sin (30 + 45)}{53}$

Schritt 3.2.2.1.1.3

Wende die Identitätsgleichung für Winkelsummen an.

$\sin (C) = 26 \frac{\sin (30) \cos (45) + \cos (30) \sin (45)}{53}$

Schritt 3.2.2.1.1.4

Der genau Wert von $\sin (30)$ ist $\frac{1}{2}$ .

$\sin (C) = 26 \frac{\frac{1}{2} \cos (45) + \cos (30) \sin (45)}{53}$

Schritt 3.2.2.1.1.5

Der genau Wert von $\cos (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sin (C) = 26 \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (30) \sin (45)}{53}$

Schritt 3.2.2.1.1.6

Der genau Wert von $\cos (30)$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sin (C) = 26 \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (45)}{53}$

Schritt 3.2.2.1.1.7

Der genau Wert von $\sin (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sin (C) = 26 \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{53}$

Schritt 3.2.2.1.1.8

Vereinfache $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 3.2.2.1.1.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.1.1.8.1.1

Multipliziere $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 3.2.2.1.1.8.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sin (C) = 26 \frac{\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{53}$

Schritt 3.2.2.1.1.8.1.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\sin (C) = 26 \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{53}$

Schritt 3.2.2.1.1.8.1.2

Multipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 3.2.2.1.1.8.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sin (C) = 26 \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}{53}$

Schritt 3.2.2.1.1.8.1.2.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\sin (C) = 26 \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}}{53}$

Schritt 3.2.2.1.1.8.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\sin (C) = 26 \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}}{53}$

Schritt 3.2.2.1.1.8.1.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\sin (C) = 26 \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}}{53}$

Schritt 3.2.2.1.1.8.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sin (C) = 26 \frac{\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}}{53}$

Schritt 3.2.2.1.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\sin (C) = 26 (\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{1}{53})$

Schritt 3.2.2.1.3

Multipliziere $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{1}{53}$ .

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Schritt 3.2.2.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ mit $\frac{1}{53}$ .

$\sin (C) = 26 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4 \cdot 53}$

Schritt 3.2.2.1.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $53$ .

$\sin (C) = 26 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{212}$

Schritt 3.2.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $26$ heraus.

$\sin (C) = 2 (13) \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{212}$

Schritt 3.2.2.1.4.2

Faktorisiere $2$ aus $212$ heraus.

$\sin (C) = 2 \cdot 13 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2 \cdot 106}$

Schritt 3.2.2.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (C) = 2 \cdot 13 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2 \cdot 106}$

Schritt 3.2.2.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$\sin (C) = 13 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{106}$

Schritt 3.2.2.1.5

Kombiniere $13$ und $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{106}$ .

$\sin (C) = \frac{13 (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{106}$

Schritt 3.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $C$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$C = \arcsin (\frac{13 (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{106})$

Schritt 3.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.1

Berechne $\arcsin (\frac{13 (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{106})$ .

$C = 28.28452639$

Schritt 3.5

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $180$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$C = 180 - 28.28452639$

Schritt 3.6

Subtrahiere $28.28452639$ von $180$ .

$C = 151.7154736$

Schritt 3.7

Die Lösung der Gleichung $C = 28.28452639$ .

$C = 28.28452639, 151.7154736$

Schritt 3.8

Schließe den ungültigen Winkel aus.

$C = 28.28452639$

Schritt 4

Die Summe aller Winkel in einem Dreieck ist $180$ Grad.

$A + 28.28452639 + 105 = 180$

Schritt 5

Löse die Gleichung nach $A$ auf.

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Schritt 5.1

Addiere $28.28452639$ und $105$ .

$A + 133.28452639 = 180$

Schritt 5.2

Bringe alle Terme, die nicht $A$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $133.28452639$ von beiden Seiten der Gleichung.

$A = 180 - 133.28452639$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $133.28452639$ von $180$ .

$A = 46.7154736$

Schritt 6

Verwende den Kosinussatz, um die unbekannte Seite des Dreiecks zu bestimmen, wenn die anderen zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben sind.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Schritt 7

Löse die Gleichung.

$a = \sqrt{b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)}$

Schritt 8

Setze die bekannten Werte in die Gleichung ein.

$a = \sqrt{{(53)}^{2} + {(26)}^{2} - 2 \cdot 53 \cdot 26 \cos (46.7154736)}$

Schritt 9

Vereinfache die Ergebnisse.

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Schritt 9.1

Potenziere $53$ mit $2$ .

$a = \sqrt{2809 + {(26)}^{2} - 2 \cdot 53 \cdot (26 \cos (46.7154736))}$

Schritt 9.2

Potenziere $26$ mit $2$ .

$a = \sqrt{2809 + 676 - 2 \cdot 53 \cdot (26 \cos (46.7154736))}$

Schritt 9.3

Multipliziere $- 2 \cdot 53 \cdot 26$ .

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Schritt 9.3.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $53$ .

$a = \sqrt{2809 + 676 - 106 \cdot (26 \cos (46.7154736))}$

Schritt 9.3.2

Mutltipliziere $- 106$ mit $26$ .

$a = \sqrt{2809 + 676 - 2756 \cos (46.7154736)}$

Schritt 9.4

Addiere $2809$ und $676$ .

$a = \sqrt{3485 - 2756 \cos (46.7154736)}$

Schritt 10

Dies sind die Ergebnisse für alle Winkel und Seiten des gegebenen Dreiecks.

$A = 46.7154736$

$B = 105$

$C = 28.28452639$

$a = \sqrt{3485 - 2756 \cos (46.7154736)}$

$b = 53$

$c = 26$