Trigonometrie Beispiele

$\frac{{(3 + 3 i)}^{5} {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Schritt 1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$\frac{(3^{5} + 5 \cdot 3^{4} (3 i) + 10 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{2} + 10 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Potenziere $3$ mit $5$ .

$\frac{(243 + 5 \cdot 3^{4} (3 i) + 10 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{2} + 10 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Schritt 2.1.2

Multipliziere $3^{4}$ mit $3$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.2.1

Bewege $3$ .

$\frac{(243 + 5 \cdot (3 \cdot 3^{4}) i + 10 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{2} + 10 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Schritt 2.1.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $3^{4}$ .

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Schritt 2.1.2.2.1

Potenziere $3$ mit $1$ .

$\frac{(243 + 5 \cdot (3^{1} \cdot 3^{4}) i + 10 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{2} + 10 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Schritt 2.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{(243 + 5 \cdot 3^{1 + 4} i + 10 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{2} + 10 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Schritt 2.1.2.3

Addiere $1$ und $4$ .

$\frac{(243 + 5 \cdot 3^{5} i + 10 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{2} + 10 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Schritt 2.1.3

Potenziere $3$ mit $5$ .

$\frac{(243 + 5 \cdot 243 i + 10 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{2} + 10 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $5$ mit $243$ .

$\frac{(243 + 1215 i + 10 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{2} + 10 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Schritt 2.1.5

Potenziere $3$ mit $3$ .

$\frac{(243 + 1215 i + 10 \cdot 27 {(3 i)}^{2} + 10 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Schritt 2.1.6

Mutltipliziere $10$ mit $27$ .

$\frac{(243 + 1215 i + 270 {(3 i)}^{2} + 10 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Schritt 2.1.7

Wende die Produktregel auf $3 i$ an.

$\frac{(243 + 1215 i + 270 (3^{2} i^{2}) + 10 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Schritt 2.1.8

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{(243 + 1215 i + 270 (9 i^{2}) + 10 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Schritt 2.1.9

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$\frac{(243 + 1215 i + 270 (9 \cdot - 1) + 10 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Schritt 2.1.10

Multipliziere $270 (9 \cdot - 1)$ .

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Schritt 2.1.10.1

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$\frac{(243 + 1215 i + 270 \cdot - 9 + 10 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Schritt 2.1.10.2

Mutltipliziere $270$ mit $- 9$ .

$\frac{(243 + 1215 i - 2430 + 10 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Schritt 2.1.11

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{(243 + 1215 i - 2430 + 10 \cdot 9 {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Schritt 2.1.12

Mutltipliziere $10$ mit $9$ .

$\frac{(243 + 1215 i - 2430 + 90 {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Schritt 2.1.13

Wende die Produktregel auf $3 i$ an.

$\frac{(243 + 1215 i - 2430 + 90 (3^{3} i^{3}) + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Schritt 2.1.14

Potenziere $3$ mit $3$ .

$\frac{(243 + 1215 i - 2430 + 90 (27 i^{3}) + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Schritt 2.1.15

Faktorisiere $i^{2}$ aus.

$\frac{(243 + 1215 i - 2430 + 90 (27 (i^{2} \cdot i)) + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Schritt 2.1.16

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$\frac{(243 + 1215 i - 2430 + 90 (27 (- 1 \cdot i)) + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Schritt 2.1.17

Schreibe $- 1 i$ als $- i$ um.

$\frac{(243 + 1215 i - 2430 + 90 (27 (- i)) + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Schritt 2.1.18

Mutltipliziere $- 1$ mit $27$ .

$\frac{(243 + 1215 i - 2430 + 90 (- 27 i) + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Schritt 2.1.19

Mutltipliziere $- 27$ mit $90$ .

$\frac{(243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Schritt 2.1.20

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$\frac{(243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 15 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Schritt 2.1.21

Wende die Produktregel auf $3 i$ an.

$\frac{(243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 15 (3^{4} i^{4}) + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Schritt 2.1.22

Potenziere $3$ mit $4$ .

$\frac{(243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 15 (81 i^{4}) + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Schritt 2.1.23

Schreibe $i^{4}$ als $1$ um.

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Schritt 2.1.23.1

Schreibe $i^{4}$ als ${(i^{2})}^{2}$ um.

$\frac{(243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 15 (81 {(i^{2})}^{2}) + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Schritt 2.1.23.2

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$\frac{(243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 15 (81 {(- 1)}^{2}) + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Schritt 2.1.23.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{(243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 15 (81 \cdot 1) + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Schritt 2.1.24

Multipliziere $15 (81 \cdot 1)$ .

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Schritt 2.1.24.1

Mutltipliziere $81$ mit $1$ .

$\frac{(243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 15 \cdot 81 + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Schritt 2.1.24.2

Mutltipliziere $15$ mit $81$ .

$\frac{(243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 1215 + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Schritt 2.1.25

Wende die Produktregel auf $3 i$ an.

$\frac{(243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 1215 + 3^{5} i^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Schritt 2.1.26

Potenziere $3$ mit $5$ .

$\frac{(243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 1215 + 243 i^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Schritt 2.1.27

Faktorisiere $i^{4}$ aus.

$\frac{(243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 1215 + 243 (i^{4} i)) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Schritt 2.1.28

Schreibe $i^{4}$ als $1$ um.

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Schritt 2.1.28.1

Schreibe $i^{4}$ als ${(i^{2})}^{2}$ um.

$\frac{(243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 1215 + 243 ({(i^{2})}^{2} i)) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Schritt 2.1.28.2

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$\frac{(243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 1215 + 243 ({(- 1)}^{2} i)) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Schritt 2.1.28.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{(243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 1215 + 243 (1 i)) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Schritt 2.1.29

Mutltipliziere $i$ mit $1$ .

$\frac{(243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 1215 + 243 i) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Schritt 2.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.2.1

Subtrahiere $2430$ von $243$ .

$\frac{(- 2187 + 1215 i - 2430 i + 1215 + 243 i) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Schritt 2.2.2

Addiere $- 2187$ und $1215$ .

$\frac{(- 972 + 1215 i - 2430 i + 243 i) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Schritt 2.2.3

Subtrahiere $2430 i$ von $1215 i$ .

$\frac{(- 972 - 1215 i + 243 i) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Schritt 2.2.4

Addiere $- 1215 i$ und $243 i$ .

$\frac{(- 972 - 972 i) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Schritt 3

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$\frac{(- 972 - 972 i) ({(- 2)}^{3} + 3 {(- 2)}^{2} (2 i) + 3 \cdot - 2 {(2 i)}^{2} + {(2 i)}^{3})}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Schritt 4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$\frac{(- 972 - 972 i) (- 8 + 3 {(- 2)}^{2} (2 i) + 3 \cdot - 2 {(2 i)}^{2} + {(2 i)}^{3})}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Schritt 4.1.2

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{(- 972 - 972 i) (- 8 + 3 \cdot 4 (2 i) + 3 \cdot - 2 {(2 i)}^{2} + {(2 i)}^{3})}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Schritt 4.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{(- 972 - 972 i) (- 8 + 12 (2 i) + 3 \cdot - 2 {(2 i)}^{2} + {(2 i)}^{3})}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $12$ .

$\frac{(- 972 - 972 i) (- 8 + 24 i + 3 \cdot - 2 {(2 i)}^{2} + {(2 i)}^{3})}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Schritt 4.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$\frac{(- 972 - 972 i) (- 8 + 24 i - 6 {(2 i)}^{2} + {(2 i)}^{3})}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Schritt 4.1.6

Wende die Produktregel auf $2 i$ an.

$\frac{(- 972 - 972 i) (- 8 + 24 i - 6 (2^{2} i^{2}) + {(2 i)}^{3})}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Schritt 4.1.7

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{(- 972 - 972 i) (- 8 + 24 i - 6 (4 i^{2}) + {(2 i)}^{3})}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Schritt 4.1.8

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$\frac{(- 972 - 972 i) (- 8 + 24 i - 6 (4 \cdot - 1) + {(2 i)}^{3})}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Schritt 4.1.9

Multipliziere $- 6 (4 \cdot - 1)$ .

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Schritt 4.1.9.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{(- 972 - 972 i) (- 8 + 24 i - 6 \cdot - 4 + {(2 i)}^{3})}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Schritt 4.1.9.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 4$ .

$\frac{(- 972 - 972 i) (- 8 + 24 i + 24 + {(2 i)}^{3})}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Schritt 4.1.10

Wende die Produktregel auf $2 i$ an.

$\frac{(- 972 - 972 i) (- 8 + 24 i + 24 + 2^{3} i^{3})}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Schritt 4.1.11

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{(- 972 - 972 i) (- 8 + 24 i + 24 + 8 i^{3})}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Schritt 4.1.12

Faktorisiere $i^{2}$ aus.

$\frac{(- 972 - 972 i) (- 8 + 24 i + 24 + 8 (i^{2} \cdot i))}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Schritt 4.1.13

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$\frac{(- 972 - 972 i) (- 8 + 24 i + 24 + 8 (- 1 \cdot i))}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Schritt 4.1.14

Schreibe $- 1 i$ als $- i$ um.

$\frac{(- 972 - 972 i) (- 8 + 24 i + 24 + 8 (- i))}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Schritt 4.1.15

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$\frac{(- 972 - 972 i) (- 8 + 24 i + 24 - 8 i)}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Schritt 4.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 4.2.1

Addiere $- 8$ und $24$ .

$\frac{(- 972 - 972 i) (16 + 24 i - 8 i)}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $8 i$ von $24 i$ .

$\frac{(- 972 - 972 i) (16 + 16 i)}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Schritt 5

Multipliziere $(- 972 - 972 i) (16 + 16 i)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 972 (16 + 16 i) - 972 i (16 + 16 i)}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 972 \cdot 16 - 972 (16 i) - 972 i (16 + 16 i)}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Schritt 5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 972 \cdot 16 - 972 (16 i) - 972 i \cdot 16 - 972 i (16 i)}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Schritt 6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1

Mutltipliziere $- 972$ mit $16$ .

$\frac{- 15552 - 972 (16 i) - 972 i \cdot 16 - 972 i (16 i)}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $16$ mit $- 972$ .

$\frac{- 15552 - 15552 i - 972 i \cdot 16 - 972 i (16 i)}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Schritt 6.1.3

Mutltipliziere $16$ mit $- 972$ .

$\frac{- 15552 - 15552 i - 15552 i - 972 i (16 i)}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Schritt 6.1.4

Multipliziere $- 972 i (16 i)$ .

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Schritt 6.1.4.1

Mutltipliziere $16$ mit $- 972$ .

$\frac{- 15552 - 15552 i - 15552 i - 15552 i i}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Schritt 6.1.4.2

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{- 15552 - 15552 i - 15552 i - 15552 (i^{1} i)}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Schritt 6.1.4.3

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{- 15552 - 15552 i - 15552 i - 15552 (i^{1} i^{1})}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Schritt 6.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 15552 - 15552 i - 15552 i - 15552 i^{1 + 1}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Schritt 6.1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- 15552 - 15552 i - 15552 i - 15552 i^{2}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Schritt 6.1.5

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$\frac{- 15552 - 15552 i - 15552 i - 15552 \cdot - 1}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Schritt 6.1.6

Mutltipliziere $- 15552$ mit $- 1$ .

$\frac{- 15552 - 15552 i - 15552 i + 15552}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Schritt 6.2

Addiere $- 15552$ und $15552$ .

$\frac{0 - 15552 i - 15552 i}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Schritt 6.3

Subtrahiere $15552 i$ von $0$ .

$\frac{- 15552 i - 15552 i}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Schritt 6.4

Subtrahiere $15552 i$ von $- 15552 i$ .

$\frac{- 31104 i}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

Schritt 7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{31104 i}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$