Trigonometrie Beispiele

$f (x) = 2 \sin (x) + \cos (2 x)$ , $f (x) = 2$

Schritt 1

Ersetze $f (x)$ durch $2$ .

$2 = 2 \sin (x) + \cos (2 x)$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $2 \sin (x) + \cos (2 x) = 2$ um.

$2 \sin (x) + \cos (2 x) = 2$

Schritt 2.2

Wende die Doppelwinkelfunktion an, um $\cos (2 x)$ nach $1 - 2 \sin^{2} (x)$ zu transformieren.

$2 \sin (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x) = 2$

Schritt 2.3

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) = 2 - 1$

Schritt 2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.1

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$2 \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) = 1$

Schritt 2.5

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Ersetze $\sin (x)$ durch $u$ .

$2 (u) - 2 {(u)}^{2} = 1$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 u - 2 u^{2} - 1 = 0$

Schritt 2.5.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.5.4

Setze die Werte $a = - 2$ , $b = 2$ und $c = - 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $u$ auf.

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 2 \cdot - 1)}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 2.5.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.5.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 2 \cdot - 1}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 2.5.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 2 \cdot - 1$ .

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Schritt 2.5.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 2$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 8 \cdot - 1}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 2.5.5.1.2.2

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 2.5.5.1.3

Subtrahiere $8$ von $4$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 2.5.5.1.4

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 2.5.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (4)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ um.

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 2.5.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$u = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 2.5.5.1.7

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$u = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 2.5.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$u = \frac{- 2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot - 2}$

Schritt 2.5.5.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$u = \frac{- 2 \pm 2 i}{2 \cdot - 2}$

Schritt 2.5.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$u = \frac{- 2 \pm 2 i}{- 4}$

Schritt 2.5.5.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 i}{- 4}$ .

$u = \frac{1 \pm i}{2}$

Schritt 2.5.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.5.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.6.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 2 \cdot - 1}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 2.5.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 2 \cdot - 1$ .

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Schritt 2.5.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 2$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 8 \cdot - 1}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 2.5.6.1.2.2

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 2.5.6.1.3

Subtrahiere $8$ von $4$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 2.5.6.1.4

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 2.5.6.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (4)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ um.

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 2.5.6.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$u = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 2.5.6.1.7

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$u = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 2.5.6.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$u = \frac{- 2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot - 2}$

Schritt 2.5.6.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$u = \frac{- 2 \pm 2 i}{2 \cdot - 2}$

Schritt 2.5.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$u = \frac{- 2 \pm 2 i}{- 4}$

Schritt 2.5.6.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 i}{- 4}$ .

$u = \frac{1 \pm i}{2}$

Schritt 2.5.6.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$u = \frac{1 + i}{2}$

Schritt 2.5.6.5

Zerlege den Bruch $\frac{1 + i}{2}$ in zwei Brüche.

$u = \frac{1}{2} + \frac{i}{2}$

Schritt 2.5.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.5.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.7.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 2 \cdot - 1}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 2.5.7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 2 \cdot - 1$ .

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Schritt 2.5.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 2$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 8 \cdot - 1}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 2.5.7.1.2.2

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 2.5.7.1.3

Subtrahiere $8$ von $4$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 2.5.7.1.4

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 2.5.7.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (4)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ um.

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 2.5.7.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$u = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 2.5.7.1.7

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$u = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot - 2}$

Schritt 2.5.7.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$u = \frac{- 2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot - 2}$

Schritt 2.5.7.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$u = \frac{- 2 \pm 2 i}{2 \cdot - 2}$

Schritt 2.5.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$u = \frac{- 2 \pm 2 i}{- 4}$

Schritt 2.5.7.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 i}{- 4}$ .

$u = \frac{1 \pm i}{2}$

Schritt 2.5.7.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$u = \frac{1 - i}{2}$

Schritt 2.5.7.5

Zerlege den Bruch $\frac{1 - i}{2}$ in zwei Brüche.

$u = \frac{1}{2} + \frac{- i}{2}$

Schritt 2.5.7.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$u = \frac{1}{2} - \frac{i}{2}$

Schritt 2.5.8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$u = \frac{1}{2} + \frac{i}{2}, \frac{1}{2} - \frac{i}{2}$

Schritt 2.5.9

Ersetze $u$ durch $\sin (x)$ .

$\sin (x) = \frac{1}{2} + \frac{i}{2}, \frac{1}{2} - \frac{i}{2}$

Schritt 2.5.10

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\sin (x) = \frac{1}{2} + \frac{i}{2}$

$\sin (x) = \frac{1}{2} - \frac{i}{2}$

Schritt 2.5.11

Löse in $\sin (x) = \frac{1}{2} + \frac{i}{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.11.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (\frac{1}{2} + \frac{i}{2})$

Schritt 2.5.11.2

Der inverse Sinus von $\arcsin (\frac{1}{2} + \frac{i}{2})$ ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 2.5.12

Löse in $\sin (x) = \frac{1}{2} - \frac{i}{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.12.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (\frac{1}{2} - \frac{i}{2})$

Schritt 2.5.12.2

Der inverse Sinus von $\arcsin (\frac{1}{2} - \frac{i}{2})$ ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 2.5.13

Liste alle Lösungen auf.

Keine Lösung