Trigonometrie Beispiele

$f (x) = 2 \sin (x) + \cos (2 x)$ , $f (x) = \frac{π}{6}$

Schritt 1

Ersetze $f (x)$ durch $\frac{π}{6}$ .

$\frac{π}{6} = 2 \sin (x) + \cos (2 x)$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $2 \sin (x) + \cos (2 x) = \frac{π}{6}$ um.

$2 \sin (x) + \cos (2 x) = \frac{π}{6}$

Schritt 2.2

Wende die Doppelwinkelfunktion an, um $\cos (2 x)$ nach $1 - 2 \sin^{2} (x)$ zu transformieren.

$2 \sin (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x) = \frac{π}{6}$

Schritt 2.3

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) = \frac{π}{6} - 1$

Schritt 2.4

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Ersetze $\sin (x)$ durch $u$ .

$2 (u) - 2 {(u)}^{2} = \frac{π}{6} - 1$

Schritt 2.4.2

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.4.2.1

Subtrahiere $\frac{π}{6}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 u - 2 u^{2} - \frac{π}{6} = - 1$

Schritt 2.4.2.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 u - 2 u^{2} - \frac{π}{6} + 1 = 0$

Schritt 2.4.3

Multipliziere mit dem Hauptnenner $6$ aus und vereinfache dann.

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Schritt 2.4.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$6 (2 u) + 6 (- 2 u^{2}) + 6 (- \frac{π}{6}) + 6 \cdot 1 = 0$

Schritt 2.4.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.4.3.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$12 u + 6 (- 2 u^{2}) + 6 (- \frac{π}{6}) + 6 \cdot 1 = 0$

Schritt 2.4.3.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $6$ .

$12 u - 12 u^{2} + 6 (- \frac{π}{6}) + 6 \cdot 1 = 0$

Schritt 2.4.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 2.4.3.2.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{π}{6}$ in den Zähler.

$12 u - 12 u^{2} + 6 (\frac{- π}{6}) + 6 \cdot 1 = 0$

Schritt 2.4.3.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$12 u - 12 u^{2} + 6 (\frac{- π}{6}) + 6 \cdot 1 = 0$

Schritt 2.4.3.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$12 u - 12 u^{2} - π + 6 \cdot 1 = 0$

Schritt 2.4.3.2.4

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$12 u - 12 u^{2} - π + 6 = 0$

Schritt 2.4.3.3

Stelle $12 u$ und $- 12 u^{2}$ um.

$- 12 u^{2} + 12 u - π + 6 = 0$

Schritt 2.4.4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.4.5

Setze die Werte $a = - 12$ , $b = 12$ und $c = - π + 6$ in die Quadratformel ein und löse nach $u$ auf.

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (- 12 \cdot (- π + 6))}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 2.4.6

Vereinfache.

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Schritt 2.4.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.6.1.1

Potenziere $12$ mit $2$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot - 12 \cdot (- π + 6)}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 2.4.6.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 12$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 48 \cdot (- π + 6)}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 2.4.6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 48 (- π) + 48 \cdot 6}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 2.4.6.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $48$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 48 π + 48 \cdot 6}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 2.4.6.1.5

Mutltipliziere $48$ mit $6$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 48 π + 288}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 2.4.6.1.6

Addiere $144$ und $288$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 2.4.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 12$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{- 24}$

Schritt 2.4.6.3

Vereinfache $\frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{- 24}$ .

$u = \frac{12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

Schritt 2.4.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.4.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.7.1.1

Potenziere $12$ mit $2$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot - 12 \cdot (- π + 6)}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 2.4.7.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 12$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 48 \cdot (- π + 6)}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 2.4.7.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 48 (- π) + 48 \cdot 6}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 2.4.7.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $48$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 48 π + 48 \cdot 6}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 2.4.7.1.5

Mutltipliziere $48$ mit $6$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 48 π + 288}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 2.4.7.1.6

Addiere $144$ und $288$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 2.4.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 12$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{- 24}$

Schritt 2.4.7.3

Vereinfache $\frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{- 24}$ .

$u = \frac{12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

Schritt 2.4.7.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$u = \frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

Schritt 2.4.8

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.4.8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.8.1.1

Potenziere $12$ mit $2$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot - 12 \cdot (- π + 6)}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 2.4.8.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 12$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 48 \cdot (- π + 6)}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 2.4.8.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 48 (- π) + 48 \cdot 6}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 2.4.8.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $48$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 48 π + 48 \cdot 6}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 2.4.8.1.5

Mutltipliziere $48$ mit $6$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 48 π + 288}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 2.4.8.1.6

Addiere $144$ und $288$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 2.4.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 12$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{- 24}$

Schritt 2.4.8.3

Vereinfache $\frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{- 24}$ .

$u = \frac{12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

Schritt 2.4.8.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$u = \frac{12 - \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

Schritt 2.4.9

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$u = \frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}, \frac{12 - \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

Schritt 2.4.10

Ersetze $u$ durch $\sin (x)$ .

$\sin (x) = \frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}, \frac{12 - \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

Schritt 2.4.11

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\sin (x) = \frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

$\sin (x) = \frac{12 - \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

Schritt 2.4.12

Löse in $\sin (x) = \frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.12.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (\frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24})$

Schritt 2.4.12.2

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - \arcsin (\frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24})$

Schritt 2.4.12.3

Entferne die Klammern.

$x = π - \arcsin (\frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24})$

Schritt 2.4.12.4

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 2.4.12.4.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 2.4.12.4.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 2.4.12.4.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 2.4.12.4.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 2.4.12.5

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \arcsin (\frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}) + 2 π n, π - \arcsin (\frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}) + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 2.4.13

Löse in $\sin (x) = \frac{12 - \sqrt{432 - 48 π}}{24}$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.13.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (\frac{12 - \sqrt{432 - 48 π}}{24})$

Schritt 2.4.13.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.13.2.1

Berechne $\arcsin (\frac{12 - \sqrt{432 - 48 π}}{24})$ .

$x = - 0.2000451$

Schritt 2.4.13.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = (3.14159265) + 0.2000451$

Schritt 2.4.13.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.13.4.1

Entferne die Klammern.

$x = 3.14159265 + 0.2000451$

Schritt 2.4.13.4.2

Entferne die Klammern.

$x = (3.14159265) + 0.2000451$

Schritt 2.4.13.4.3

Addiere $3.14159265$ und $0.2000451$ .

$x = 3.34163776$

Schritt 2.4.13.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 2.4.13.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 2.4.13.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 2.4.13.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 2.4.13.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 2.4.13.6

Addiere $2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 2.4.13.6.1

Addiere $2 π$ zu $- 0.2000451$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- 0.2000451 + 2 π$

Schritt 2.4.13.6.2

Subtrahiere $0.2000451$ von $2 π$ .

$6.08314019$

Schritt 2.4.13.6.3

Liste die neuen Winkel auf.

$x = 6.08314019$

Schritt 2.4.13.7

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 3.34163776 + 2 π n, 6.08314019 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 2.4.14

Liste alle Lösungen auf.

$x = \arcsin (\frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}) + 2 π n, π - \arcsin (\frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}) + 2 π n, 3.34163776 + 2 π n, 6.08314019 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$