Trigonometrie Beispiele

f (x) = 2 sin (x) + cos (2 x)

$f (x) = 2 \sin (x) + \cos (2 x)$ ,

f (x) = \frac{π}{6}

$f (x) = \frac{π}{6}$

Schritt 1

Ersetze

f (x)

$f (x)$ durch

\frac{π}{6}

$\frac{π}{6}$ .

\frac{π}{6} = 2 sin (x) + cos (2 x)

$\frac{π}{6} = 2 \sin (x) + \cos (2 x)$

Schritt 2

Löse nach

x

$x$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als

2 sin (x) + cos (2 x) = \frac{π}{6}

$2 \sin (x) + \cos (2 x) = \frac{π}{6}$ um.

2 sin (x) + cos (2 x) = \frac{π}{6}

$2 \sin (x) + \cos (2 x) = \frac{π}{6}$

Schritt 2.2

Wende die Doppelwinkelfunktion an, um

cos (2 x)

$\cos (2 x)$ nach

1 - 2 {sin}^{2} (x)

$1 - 2 \sin^{2} (x)$ zu transformieren.

2 sin (x) + 1 - 2 {sin}^{2} (x) = \frac{π}{6}

$2 \sin (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x) = \frac{π}{6}$

Schritt 2.3

Subtrahiere

1

$1$ von beiden Seiten der Gleichung.

2 sin (x) - 2 {sin}^{2} (x) = \frac{π}{6} - 1

$2 \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) = \frac{π}{6} - 1$

Schritt 2.4

Löse die Gleichung nach

x

$x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Ersetze

sin (x)

$\sin (x)$ durch

u

$u$ .

2 (u) - 2 {(u)}^{2} = \frac{π}{6} - 1

$2 (u) - 2 {(u)}^{2} = \frac{π}{6} - 1$

Schritt 2.4.2

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.4.2.1

Subtrahiere

\frac{π}{6}

$\frac{π}{6}$ von beiden Seiten der Gleichung.

2 u - 2 u^{2} - \frac{π}{6} = - 1

$2 u - 2 u^{2} - \frac{π}{6} = - 1$

Schritt 2.4.2.2

Addiere

1

$1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

2 u - 2 u^{2} - \frac{π}{6} + 1 = 0

$2 u - 2 u^{2} - \frac{π}{6} + 1 = 0$

2 u - 2 u^{2} - \frac{π}{6} + 1 = 0

$2 u - 2 u^{2} - \frac{π}{6} + 1 = 0$

Schritt 2.4.3

Multipliziere mit dem Hauptnenner

6

$6$ aus und vereinfache dann.

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Schritt 2.4.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

6 (2 u) + 6 (- 2 u^{2}) + 6 (- \frac{π}{6}) + 6 \cdot 1 = 0

$6 (2 u) + 6 (- 2 u^{2}) + 6 (- \frac{π}{6}) + 6 \cdot 1 = 0$

Schritt 2.4.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.4.3.2.1

Mutltipliziere

2

$2$ mit

6

$6$ .

12 u + 6 (- 2 u^{2}) + 6 (- \frac{π}{6}) + 6 \cdot 1 = 0

$12 u + 6 (- 2 u^{2}) + 6 (- \frac{π}{6}) + 6 \cdot 1 = 0$

Schritt 2.4.3.2.2

Mutltipliziere

$- 2$ mit

$6$ .

$12 u - 12 u^{2} + 6 (- \frac{π}{6}) + 6 \cdot 1 = 0$

Schritt 2.4.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$6$ .

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Schritt 2.4.3.2.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in

$- \frac{π}{6}$ in den Zähler.

$12 u - 12 u^{2} + 6 (\frac{- π}{6}) + 6 \cdot 1 = 0$

Schritt 2.4.3.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$12 u - 12 u^{2} + 6 (\frac{- π}{6}) + 6 \cdot 1 = 0$

Schritt 2.4.3.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$12 u - 12 u^{2} - π + 6 \cdot 1 = 0$

Schritt 2.4.3.2.4

Mutltipliziere

$6$ mit

$1$ .

$12 u - 12 u^{2} - π + 6 = 0$

Schritt 2.4.3.3

Stelle

$12 u$ und

$- 12 u^{2}$ um.

$- 12 u^{2} + 12 u - π + 6 = 0$

Schritt 2.4.4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.4.5

Setze die Werte

$a = - 12$ ,

$b = 12$ und

$c = - π + 6$ in die Quadratformel ein und löse nach

$u$ auf.

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (- 12 \cdot (- π + 6))}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 2.4.6

Vereinfache.

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Schritt 2.4.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.6.1.1

Potenziere

$12$ mit

$2$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot - 12 \cdot (- π + 6)}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 2.4.6.1.2

Mutltipliziere

$- 4$ mit

$- 12$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 48 \cdot (- π + 6)}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 2.4.6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 48 (- π) + 48 \cdot 6}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 2.4.6.1.4

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$48$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 48 π + 48 \cdot 6}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 2.4.6.1.5

Mutltipliziere

$48$ mit

$6$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 48 π + 288}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 2.4.6.1.6

Addiere

$144$ und

$288$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 2.4.6.2

Mutltipliziere

$2$ mit

$- 12$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{- 24}$

Schritt 2.4.6.3

Vereinfache

$\frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{- 24}$ .

$u = \frac{12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

Schritt 2.4.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem

$+$ -Teil von

$\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.4.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.7.1.1

Potenziere

$12$ mit

$2$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot - 12 \cdot (- π + 6)}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 2.4.7.1.2

Mutltipliziere

$- 4$ mit

$- 12$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 48 \cdot (- π + 6)}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 2.4.7.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 48 (- π) + 48 \cdot 6}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 2.4.7.1.4

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$48$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 48 π + 48 \cdot 6}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 2.4.7.1.5

Mutltipliziere

$48$ mit

$6$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 48 π + 288}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 2.4.7.1.6

Addiere

$144$ und

$288$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 2.4.7.2

Mutltipliziere

$2$ mit

$- 12$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{- 24}$

Schritt 2.4.7.3

Vereinfache

$\frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{- 24}$ .

$u = \frac{12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

Schritt 2.4.7.4

Ändere das

$\pm$ zu

$+$ .

$u = \frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

Schritt 2.4.8

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem

$-$ -Teil von

$\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.4.8.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.8.1.1

Potenziere

$12$ mit

$2$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot - 12 \cdot (- π + 6)}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 2.4.8.1.2

Mutltipliziere

$- 4$ mit

$- 12$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 48 \cdot (- π + 6)}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 2.4.8.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 48 (- π) + 48 \cdot 6}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 2.4.8.1.4

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$48$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 48 π + 48 \cdot 6}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 2.4.8.1.5

Mutltipliziere

$48$ mit

$6$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 48 π + 288}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 2.4.8.1.6

Addiere

$144$ und

$288$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{2 \cdot - 12}$

Schritt 2.4.8.2

Mutltipliziere

$2$ mit

$- 12$ .

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{- 24}$

Schritt 2.4.8.3

Vereinfache

$\frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{- 24}$ .

$u = \frac{12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

Schritt 2.4.8.4

Ändere das

$\pm$ zu

$-$ .

$u = \frac{12 - \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

Schritt 2.4.9

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$u = \frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}, \frac{12 - \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

Schritt 2.4.10

Ersetze

$u$ durch

$\sin (x)$ .

$\sin (x) = \frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}, \frac{12 - \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

Schritt 2.4.11

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach

$x$ aufzulösen.

$\sin (x) = \frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

$\sin (x) = \frac{12 - \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

Schritt 2.4.12

Löse in

$\sin (x) = \frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}$ nach

$x$ auf.

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Schritt 2.4.12.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um

$x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (\frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24})$

Schritt 2.4.12.2

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von

$π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - \arcsin (\frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24})$

Schritt 2.4.12.3

Entferne die Klammern.

$x = π - \arcsin (\frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24})$

Schritt 2.4.12.4

Ermittele die Periode von

$\sin (x)$ .

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Schritt 2.4.12.4.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von

$\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 2.4.12.4.2

Ersetze

$b$ durch

$1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 2.4.12.4.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen

$0$ und

$1$ ist

$1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 2.4.12.4.4

Dividiere

$2 π$ durch

$1$ .

$2 π$

Schritt 2.4.12.5

Die Periode der Funktion

$\sin (x)$ ist

$2 π$ , d. h., Werte werden sich alle

$2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \arcsin (\frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}) + 2 π n, π - \arcsin (\frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}) + 2 π n$ , für jede ganze Zahl

$n$

$x = \arcsin (\frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}) + 2 π n, π - \arcsin (\frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}) + 2 π n$ , für jede ganze Zahl

$n$

Schritt 2.4.13

Löse in

$\sin (x) = \frac{12 - \sqrt{432 - 48 π}}{24}$ nach

$x$ auf.

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Schritt 2.4.13.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um

$x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (\frac{12 - \sqrt{432 - 48 π}}{24})$

Schritt 2.4.13.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.13.2.1

Berechne

$\arcsin (\frac{12 - \sqrt{432 - 48 π}}{24})$ .

$x = - 0.2000451$

Schritt 2.4.13.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von

$π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = (3.14159265) + 0.2000451$

Schritt 2.4.13.4

Löse nach

$x$ auf.

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Schritt 2.4.13.4.1

Entferne die Klammern.

$x = 3.14159265 + 0.2000451$

Schritt 2.4.13.4.2

Entferne die Klammern.

$x = (3.14159265) + 0.2000451$

Schritt 2.4.13.4.3

Addiere

$3.14159265$ und

$0.2000451$ .

$x = 3.34163776$

Schritt 2.4.13.5

Ermittele die Periode von

$\sin (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.13.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von

$\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 2.4.13.5.2

Ersetze

$b$ durch

$1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 2.4.13.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen

$0$ und

$1$ ist

$1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 2.4.13.5.4

Dividiere

$2 π$ durch

$1$ .

$2 π$

Schritt 2.4.13.6

Addiere

$2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 2.4.13.6.1

Addiere

$2 π$ zu

$- 0.2000451$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- 0.2000451 + 2 π$

Schritt 2.4.13.6.2

Subtrahiere

$0.2000451$ von

$2 π$ .

$6.08314019$

Schritt 2.4.13.6.3

Liste die neuen Winkel auf.

$x = 6.08314019$

Schritt 2.4.13.7

Die Periode der Funktion

$\sin (x)$ ist

$2 π$ , d. h., Werte werden sich alle

$2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 3.34163776 + 2 π n, 6.08314019 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl

$n$

$x = 3.34163776 + 2 π n, 6.08314019 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl

$n$

Schritt 2.4.14

Liste alle Lösungen auf.

$x = \arcsin (\frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}) + 2 π n, π - \arcsin (\frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}) + 2 π n, 3.34163776 + 2 π n, 6.08314019 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl

$n$

$x = \arcsin (\frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}) + 2 π n, π - \arcsin (\frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}) + 2 π n, 3.34163776 + 2 π n, 6.08314019 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl

$n$

$x = \arcsin (\frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}) + 2 π n, π - \arcsin (\frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}) + 2 π n, 3.34163776 + 2 π n, 6.08314019 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl

$n$