Trigonometrie Beispiele

$g (x) = 3 x^{2} + 5 x + 11$ , $g (x) = - 5$

Schritt 1

Ersetze $g (x)$ durch $- 5$ .

$- 5 = 3 x^{2} + 5 x + 11$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $3 x^{2} + 5 x + 11 = - 5$ um.

$3 x^{2} + 5 x + 11 = - 5$

Schritt 2.2

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} + 5 x + 11 + 5 = 0$

Schritt 2.2.2

Addiere $11$ und $5$ .

$3 x^{2} + 5 x + 16 = 0$

Schritt 2.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.4

Setze die Werte $a = 3$ , $b = 5$ und $c = 16$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 16)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 3 \cdot 16}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot 16$ .

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Schritt 2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 12 \cdot 16}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $16$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 192}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.5.1.3

Subtrahiere $192$ von $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 167}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.5.1.4

Schreibe $- 167$ als $- 1 (167)$ um.

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 167}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (167)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{167}$ um.

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{167}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 5 \pm i \sqrt{167}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \sqrt{167}}{6}$

Schritt 2.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 3 \cdot 16}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot 16$ .

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Schritt 2.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 12 \cdot 16}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $16$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 192}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.6.1.3

Subtrahiere $192$ von $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 167}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.6.1.4

Schreibe $- 167$ als $- 1 (167)$ um.

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 167}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.6.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (167)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{167}$ um.

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{167}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.6.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 5 \pm i \sqrt{167}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \sqrt{167}}{6}$

Schritt 2.6.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{- 5 + i \sqrt{167}}{6}$

Schritt 2.6.4

Schreibe $- 5$ als $- 1 (5)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 5 + i \sqrt{167}}{6}$

Schritt 2.6.5

Faktorisiere $- 1$ aus $i \sqrt{167}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - (- i \sqrt{167})}{6}$

Schritt 2.6.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (5) - (- i \sqrt{167})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (5 - i \sqrt{167})}{6}$

Schritt 2.6.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{5 - i \sqrt{167}}{6}$

Schritt 2.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.7.1.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 3 \cdot 16}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot 16$ .

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Schritt 2.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 12 \cdot 16}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.7.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $16$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 192}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.7.1.3

Subtrahiere $192$ von $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 167}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.7.1.4

Schreibe $- 167$ als $- 1 (167)$ um.

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 167}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.7.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (167)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{167}$ um.

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{167}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.7.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 5 \pm i \sqrt{167}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \sqrt{167}}{6}$

Schritt 2.7.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{- 5 - i \sqrt{167}}{6}$

Schritt 2.7.4

Schreibe $- 5$ als $- 1 (5)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - i \sqrt{167}}{6}$

Schritt 2.7.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- i \sqrt{167}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - (i \sqrt{167})}{6}$

Schritt 2.7.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (5) - (i \sqrt{167})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (5 + i \sqrt{167})}{6}$

Schritt 2.7.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{5 + i \sqrt{167}}{6}$

Schritt 2.8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{5 - i \sqrt{167}}{6}, - \frac{5 + i \sqrt{167}}{6}$