Trigonometrie Beispiele

$f (x) = \sin (4 x)$ , $f (x) = \cos (4 x)$

Schritt 1

Ersetze $f (x)$ durch $\cos (4 x)$ .

$\cos (4 x) = \sin (4 x)$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Teile jeden Term in der Gleichung durch $\cos (4 x)$ .

$\frac{\cos (4 x)}{\cos (4 x)} = \frac{\sin (4 x)}{\cos (4 x)}$

Schritt 2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (4 x)$ .

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos (4 x)}{\cos (4 x)} = \frac{\sin (4 x)}{\cos (4 x)}$

Schritt 2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = \frac{\sin (4 x)}{\cos (4 x)}$

Schritt 2.3

Wandle von $\frac{\sin (4 x)}{\cos (4 x)}$ nach $\tan (4 x)$ um.

$1 = \tan (4 x)$

Schritt 2.4

Schreibe die Gleichung als $\tan (4 x) = 1$ um.

$\tan (4 x) = 1$

Schritt 2.5

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$4 x = \arctan (1)$

Schritt 2.6

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.6.1

Der genau Wert von $\arctan (1)$ ist $\frac{π}{4}$ .

$4 x = \frac{π}{4}$

Schritt 2.7

Teile jeden Ausdruck in $4 x = \frac{π}{4}$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 2.7.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = \frac{π}{4}$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{4}}{4}$

Schritt 2.7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{4}}{4}$

Schritt 2.7.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{4}}{4}$

Schritt 2.7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.7.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{4}$

Schritt 2.7.3.2

Multipliziere $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Schritt 2.7.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{π}{4}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{π}{4 \cdot 4}$

Schritt 2.7.3.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$x = \frac{π}{16}$

Schritt 2.8

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$4 x = π + \frac{π}{4}$

Schritt 2.9

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.9.1

Vereinfache.

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Schritt 2.9.1.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$4 x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 2.9.1.2

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{4}$ .

$4 x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 2.9.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Schritt 2.9.1.4

Addiere $π \cdot 4$ und $π$ .

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Schritt 2.9.1.4.1

Stelle $π$ und $4$ um.

$4 x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Schritt 2.9.1.4.2

Addiere $4 \cdot π$ und $π$ .

$4 x = \frac{5 \cdot π}{4}$

Schritt 2.9.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = \frac{5 \cdot π}{4}$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 2.9.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = \frac{5 \cdot π}{4}$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{4}$

Schritt 2.9.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.9.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.9.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{4}$

Schritt 2.9.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{4}$

Schritt 2.9.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.9.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{5 \cdot π}{4} \cdot \frac{1}{4}$

Schritt 2.9.2.3.2

Multipliziere $\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Schritt 2.9.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{5 π}{4}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{5 π}{4 \cdot 4}$

Schritt 2.9.2.3.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$x = \frac{5 π}{16}$

Schritt 2.10

Ermittele die Periode von $\tan (4 x)$ .

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Schritt 2.10.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 2.10.2

Ersetze $b$ durch $4$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 4 |}$

Schritt 2.10.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $4$ ist $4$ .

$\frac{π}{4}$

Schritt 2.11

Die Periode der Funktion $\tan (4 x)$ ist $\frac{π}{4}$ , d. h., Werte werden sich alle $\frac{π}{4}$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{16} + \frac{π n}{4}, \frac{5 π}{16} + \frac{π n}{4}$ , für jede ganze Zahl $n$