Trigonometrie Beispiele

$f (x) = \sqrt{3 x^{2}} - 8 + 6$ , $f (x) = 8$

Schritt 1

Ersetze $f (x)$ durch $8$ .

$8 = \sqrt{3 x^{2}} - 8 + 6$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt{3 x^{2}} - 8 + 6 = 8$ um.

$\sqrt{3 x^{2}} - 8 + 6 = 8$

Schritt 2.2

Löse nach $\sqrt{3 x^{2}}$ auf.

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Schritt 2.2.1

Addiere $- 8$ und $6$ .

$\sqrt{3 x^{2}} - 2 = 8$

Schritt 2.2.2

Bringe alle Terme, die nicht $\sqrt{3 x^{2}}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{3 x^{2}} = 8 + 2$

Schritt 2.2.2.2

Addiere $8$ und $2$ .

$\sqrt{3 x^{2}} = 10$

Schritt 2.3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{3 x^{2}}}^{2} = 10^{2}$

Schritt 2.4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3 x^{2}}$ als ${(3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(3 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 10^{2}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Vereinfache ${({(3 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.4.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(3 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.4.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 10^{2}$

Schritt 2.4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(3 x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 10^{2}$

Schritt 2.4.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(3 x^{2})}^{1} = 10^{2}$

Schritt 2.4.2.1.2

Vereinfache.

$3 x^{2} = 10^{2}$

Schritt 2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.3.1

Potenziere $10$ mit $2$ .

$3 x^{2} = 100$

Schritt 2.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{2} = 100$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.1.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{2} = 100$ durch $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{100}{3}$

Schritt 2.5.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.5.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{100}{3}$

Schritt 2.5.1.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{100}{3}$

Schritt 2.5.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{100}{3}}$

Schritt 2.5.3

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{100}{3}}$ .

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Schritt 2.5.3.1

Schreibe $\sqrt{\frac{100}{3}}$ als $\frac{\sqrt{100}}{\sqrt{3}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{100}}{\sqrt{3}}$

Schritt 2.5.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.3.2.1

Schreibe $100$ als $10^{2}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{10^{2}}}{\sqrt{3}}$

Schritt 2.5.3.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm \frac{10}{\sqrt{3}}$

Schritt 2.5.3.3

Mutltipliziere $\frac{10}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{10}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 2.5.3.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.5.3.4.1

Mutltipliziere $\frac{10}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{10 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 2.5.3.4.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{10 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 2.5.3.4.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{10 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 2.5.3.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{10 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 2.5.3.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm \frac{10 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 2.5.3.4.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 2.5.3.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{10 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.5.3.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{10 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.5.3.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm \frac{10 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.5.3.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.5.3.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{10 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.5.3.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{10 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 2.5.3.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm \frac{10 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 2.5.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.5.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{10 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 2.5.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{10 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 2.5.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{10 \sqrt{3}}{3}, - \frac{10 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 3

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{10 \sqrt{3}}{3}, - \frac{10 \sqrt{3}}{3}$

Dezimalform:

$x = 5.77350269 \dots, - 5.77350269 \dots$