Trigonometrie Beispiele

$f (x) = - \frac{1}{9} x^{2} + 25$ , $f (x) = 69 - 3 x$

Schritt 1

Ersetze $f (x)$ durch $69 - 3 x$ .

$69 - 3 x = - \frac{1}{9} x^{2} + 25$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{9}$ .

$69 - 3 x = - \frac{x^{2}}{9} + 25$

Schritt 2.2

Addiere $\frac{x^{2}}{9}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$69 - 3 x + \frac{x^{2}}{9} = 25$

Schritt 2.3

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Subtrahiere $25$ von beiden Seiten der Gleichung.

$69 - 3 x + \frac{x^{2}}{9} - 25 = 0$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $25$ von $69$ .

$- 3 x + \frac{x^{2}}{9} + 44 = 0$

Schritt 2.4

Multipliziere mit dem Hauptnenner $9$ aus und vereinfache dann.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$9 (- 3 x) + 9 (\frac{x^{2}}{9}) + 9 \cdot 44 = 0$

Schritt 2.4.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $9$ .

$- 27 x + 9 (\frac{x^{2}}{9}) + 9 \cdot 44 = 0$

Schritt 2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 27 x + 9 (\frac{x^{2}}{9}) + 9 \cdot 44 = 0$

Schritt 2.4.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$- 27 x + x^{2} + 9 \cdot 44 = 0$

Schritt 2.4.2.3

Mutltipliziere $9$ mit $44$ .

$- 27 x + x^{2} + 396 = 0$

Schritt 2.4.3

Stelle $- 27 x$ und $x^{2}$ um.

$x^{2} - 27 x + 396 = 0$

Schritt 2.5

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.6

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 27$ und $c = 396$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{27 \pm \sqrt{{(- 27)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 396)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.7.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.7.1.1

Potenziere $- 27$ mit $2$ .

$x = \frac{27 \pm \sqrt{729 - 4 \cdot 1 \cdot 396}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 396$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{27 \pm \sqrt{729 - 4 \cdot 396}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $396$ .

$x = \frac{27 \pm \sqrt{729 - 1584}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.1.3

Subtrahiere $1584$ von $729$ .

$x = \frac{27 \pm \sqrt{- 855}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.1.4

Schreibe $- 855$ als $- 1 (855)$ um.

$x = \frac{27 \pm \sqrt{- 1 \cdot 855}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (855)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{855}$ um.

$x = \frac{27 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{855}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{27 \pm i \cdot \sqrt{855}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.1.7

Schreibe $855$ als $3^{2} \cdot 95$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.7.1.7.1

Faktorisiere $9$ aus $855$ heraus.

$x = \frac{27 \pm i \cdot \sqrt{9 (95)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.1.7.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \frac{27 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 95}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{27 \pm i \cdot (3 \sqrt{95})}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.1.9

Bringe $3$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{27 \pm 3 i \sqrt{95}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{27 \pm 3 i \sqrt{95}}{2}$

Schritt 2.8

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.8.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.8.1.1

Potenziere $- 27$ mit $2$ .

$x = \frac{27 \pm \sqrt{729 - 4 \cdot 1 \cdot 396}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.8.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 396$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.8.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{27 \pm \sqrt{729 - 4 \cdot 396}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.8.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $396$ .

$x = \frac{27 \pm \sqrt{729 - 1584}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.8.1.3

Subtrahiere $1584$ von $729$ .

$x = \frac{27 \pm \sqrt{- 855}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.8.1.4

Schreibe $- 855$ als $- 1 (855)$ um.

$x = \frac{27 \pm \sqrt{- 1 \cdot 855}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.8.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (855)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{855}$ um.

$x = \frac{27 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{855}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.8.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{27 \pm i \cdot \sqrt{855}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.8.1.7

Schreibe $855$ als $3^{2} \cdot 95$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.8.1.7.1

Faktorisiere $9$ aus $855$ heraus.

$x = \frac{27 \pm i \cdot \sqrt{9 (95)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.8.1.7.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \frac{27 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 95}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.8.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{27 \pm i \cdot (3 \sqrt{95})}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.8.1.9

Bringe $3$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{27 \pm 3 i \sqrt{95}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{27 \pm 3 i \sqrt{95}}{2}$

Schritt 2.8.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{27 + 3 i \sqrt{95}}{2}$

Schritt 2.9

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.1.1

Potenziere $- 27$ mit $2$ .

$x = \frac{27 \pm \sqrt{729 - 4 \cdot 1 \cdot 396}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.9.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 396$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{27 \pm \sqrt{729 - 4 \cdot 396}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.9.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $396$ .

$x = \frac{27 \pm \sqrt{729 - 1584}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.9.1.3

Subtrahiere $1584$ von $729$ .

$x = \frac{27 \pm \sqrt{- 855}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.9.1.4

Schreibe $- 855$ als $- 1 (855)$ um.

$x = \frac{27 \pm \sqrt{- 1 \cdot 855}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.9.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (855)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{855}$ um.

$x = \frac{27 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{855}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.9.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{27 \pm i \cdot \sqrt{855}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.9.1.7

Schreibe $855$ als $3^{2} \cdot 95$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.1.7.1

Faktorisiere $9$ aus $855$ heraus.

$x = \frac{27 \pm i \cdot \sqrt{9 (95)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.9.1.7.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \frac{27 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 95}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.9.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{27 \pm i \cdot (3 \sqrt{95})}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.9.1.9

Bringe $3$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{27 \pm 3 i \sqrt{95}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.9.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{27 \pm 3 i \sqrt{95}}{2}$

Schritt 2.9.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{27 - 3 i \sqrt{95}}{2}$

Schritt 2.10

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{27 + 3 i \sqrt{95}}{2}, \frac{27 - 3 i \sqrt{95}}{2}$