Trigonometrie Beispiele

$a = 3$ , $b = 4$ , $C = 30$

Schritt 1

Verwende den Kosinussatz, um die unbekannte Seite des Dreiecks zu bestimmen, wenn die anderen zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben sind.

$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)$

Schritt 2

Löse die Gleichung.

$c = \sqrt{a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)}$

Schritt 3

Setze die bekannten Werte in die Gleichung ein.

$c = \sqrt{{(3)}^{2} + {(4)}^{2} - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cos (30)}$

Schritt 4

Vereinfache die Ergebnisse.

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Schritt 4.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$c = \sqrt{9 + {(4)}^{2} - 2 \cdot 3 \cdot (4 \cos (30))}$

Schritt 4.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$c = \sqrt{9 + 16 - 2 \cdot 3 \cdot (4 \cos (30))}$

Schritt 4.3

Multipliziere $- 2 \cdot 3 \cdot 4$ .

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$c = \sqrt{9 + 16 - 6 \cdot (4 \cos (30))}$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $4$ .

$c = \sqrt{9 + 16 - 24 \cos (30)}$

Schritt 4.4

Der genau Wert von $\cos (30)$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$c = \sqrt{9 + 16 - 24 \frac{\sqrt{3}}{2}}$

Schritt 4.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.5.1

Faktorisiere $2$ aus $- 24$ heraus.

$c = \sqrt{9 + 16 + 2 (- 12) (\frac{\sqrt{3}}{2})}$

Schritt 4.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$c = \sqrt{9 + 16 + 2 \cdot (- 12 \frac{\sqrt{3}}{2})}$

Schritt 4.5.3

Forme den Ausdruck um.

$c = \sqrt{9 + 16 - 12 \sqrt{3}}$

Schritt 4.6

Addiere $9$ und $16$ .

$c = \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}$

Schritt 5

Der Sinussatz basiert auf der Proportionalität von Seiten und Winkeln in Dreiecken. Der Satz sagt, dass für die Winkel eines allgemeinen Dreiecks gilt, dass jeder Winkel des Dreiecks das gleiche Verhältnis von Winkelmaß zum Sinus aufweist.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Schritt 6

Setze die bekannten Werte in den Sinussatz ein, um $A$ zu bestimmen.

$\frac{\sin (A)}{3} = \frac{\sin (30)}{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}$

Schritt 7

Löse die Gleichung nach $A$ auf.

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Schritt 7.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $3$ .

$3 \frac{\sin (A)}{3} = 3 \frac{\sin (30)}{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}$

Schritt 7.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{\sin (A)}{3} = 3 \frac{\sin (30)}{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}$

Schritt 7.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (A) = 3 \frac{\sin (30)}{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.2.1

Vereinfache $3 \frac{\sin (30)}{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}$ .

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Schritt 7.2.2.1.1

Der genau Wert von $\sin (30)$ ist $\frac{1}{2}$ .

$\sin (A) = 3 \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}$

Schritt 7.2.2.1.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\sin (A) = 3 (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}})$

Schritt 7.2.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}$ .

$\sin (A) = 3 \frac{1}{2 \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}$

Schritt 7.2.2.1.4

Mutltipliziere $\frac{1}{2 \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}$ mit $\frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}$ .

$\sin (A) = 3 (\frac{1}{2 \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}} \cdot \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}})$

Schritt 7.2.2.1.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.2.1.5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2 \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}$ mit $\frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}$ .

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{2 \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}$

Schritt 7.2.2.1.5.2

Bewege $\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}$ .

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{2 (\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}})}$

Schritt 7.2.2.1.5.3

Potenziere $\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}$ mit $1$ .

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{2 ({\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}^{1} \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}})}$

Schritt 7.2.2.1.5.4

Potenziere $\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}$ mit $1$ .

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{2 ({\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}^{1} {\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}^{1})}$

Schritt 7.2.2.1.5.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{2 {\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}^{1 + 1}}$

Schritt 7.2.2.1.5.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{2 {\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}^{2}}$

Schritt 7.2.2.1.5.7

Schreibe ${\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}^{2}$ als $25 - 12 \sqrt{3}$ um.

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Schritt 7.2.2.1.5.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}$ als ${(25 - 12 \sqrt{3})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{2 {({(25 - 12 \sqrt{3})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 7.2.2.1.5.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{2 {(25 - 12 \sqrt{3})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 7.2.2.1.5.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{2 {(25 - 12 \sqrt{3})}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.2.2.1.5.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.2.1.5.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{2 {(25 - 12 \sqrt{3})}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.2.2.1.5.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{2 {(25 - 12 \sqrt{3})}^{1}}$

Schritt 7.2.2.1.5.7.5

Vereinfache.

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{2 (25 - 12 \sqrt{3})}$

Schritt 7.2.2.1.6

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{2 (25 - 12 \sqrt{3})}$ mit $\frac{25 + 12 \sqrt{3}}{25 + 12 \sqrt{3}}$ .

$\sin (A) = 3 (\frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{2 (25 - 12 \sqrt{3})} \cdot \frac{25 + 12 \sqrt{3}}{25 + 12 \sqrt{3}})$

Schritt 7.2.2.1.7

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{2 (25 - 12 \sqrt{3})}$ mit $\frac{25 + 12 \sqrt{3}}{25 + 12 \sqrt{3}}$ .

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} (25 + 12 \sqrt{3})}{2 (25 - 12 \sqrt{3}) (25 + 12 \sqrt{3})}$

Schritt 7.2.2.1.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.2.2.1.8.1

Bewege $25 - 12 \sqrt{3}$ .

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} (25 + 12 \sqrt{3})}{2 ((25 - 12 \sqrt{3}) (25 + 12 \sqrt{3}))}$

Schritt 7.2.2.1.8.2

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} (25 + 12 \sqrt{3})}{2 (625 + 300 \sqrt{3} - 300 \sqrt{3} - 144 {\sqrt{3}}^{2})}$

Schritt 7.2.2.1.8.3

Vereinfache.

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} (25 + 12 \sqrt{3})}{2 \cdot 193}$

Schritt 7.2.2.1.8.4

Mutltipliziere $2$ mit $193$ .

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} (25 + 12 \sqrt{3})}{386}$

Schritt 7.2.2.1.9

Wende das Distributivgesetz an.

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} \cdot 25 + \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} (12 \sqrt{3})}{386}$

Schritt 7.2.2.1.10

Bringe $25$ auf die linke Seite von $\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}$ .

$\sin (A) = 3 \frac{25 \cdot \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} + \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} (12 \sqrt{3})}{386}$

Schritt 7.2.2.1.11

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\sin (A) = 3 \frac{25 \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} + 12 \sqrt{(25 - 12 \sqrt{3}) \cdot 3}}{386}$

Schritt 7.2.2.1.12

Kombiniere $3$ und $\frac{25 \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} + 12 \sqrt{(25 - 12 \sqrt{3}) \cdot 3}}{386}$ .

$\sin (A) = \frac{3 (25 \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} + 12 \sqrt{(25 - 12 \sqrt{3}) \cdot 3})}{386}$

Schritt 7.2.2.1.13

Bringe $3$ auf die linke Seite von $25 - 12 \sqrt{3}$ .

$\sin (A) = \frac{3 (25 \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} + 12 \sqrt{3 (25 - 12 \sqrt{3})})}{386}$

Schritt 7.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $A$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$A = \arcsin (\frac{3 (25 \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} + 12 \sqrt{3 (25 - 12 \sqrt{3})})}{386})$

Schritt 7.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.4.1

Berechne $\arcsin (\frac{3 (25 \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} + 12 \sqrt{3 (25 - 12 \sqrt{3})})}{386})$ .

$A = 46.93568657$

Schritt 7.5

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $180$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$A = 180 - 46.93568657$

Schritt 7.6

Subtrahiere $46.93568657$ von $180$ .

$A = 133.06431342$

Schritt 7.7

Die Lösung der Gleichung $A = 46.93568657$ .

$A = 46.93568657, 133.06431342$

Schritt 8

Die Summe aller Winkel in einem Dreieck ist $180$ Grad.

$46.93568657 + 30 + B = 180$

Schritt 9

Löse die Gleichung nach $B$ auf.

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Schritt 9.1

Addiere $46.93568657$ und $30$ .

$76.93568657 + B = 180$

Schritt 9.2

Bringe alle Terme, die nicht $B$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.2.1

Subtrahiere $76.93568657$ von beiden Seiten der Gleichung.

$B = 180 - 76.93568657$

Schritt 9.2.2

Subtrahiere $76.93568657$ von $180$ .

$B = 103.06431342$

Schritt 10

Dies sind die Ergebnisse für alle Winkel und Seiten des gegebenen Dreiecks.

$A = 46.93568657$

$B = 103.06431342$

$C = 30$

$a = 3$

$b = 4$

$c = \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}$