Trigonometrie Beispiele

$A = 4915$ , $b = 60$ , $c = 89$

Schritt 1

Verwende den Kosinussatz, um die unbekannte Seite des Dreiecks zu bestimmen, wenn die anderen zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben sind.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Schritt 2

Löse die Gleichung.

$a = \sqrt{b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)}$

Schritt 3

Setze die bekannten Werte in die Gleichung ein.

$a = \sqrt{{(60)}^{2} + {(89)}^{2} - 2 \cdot 60 \cdot 89 \cos (4915)}$

Schritt 4

Vereinfache die Ergebnisse.

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Schritt 4.1

Potenziere $60$ mit $2$ .

$a = \sqrt{3600 + {(89)}^{2} - 2 \cdot 60 \cdot (89 \cos (4915))}$

Schritt 4.2

Potenziere $89$ mit $2$ .

$a = \sqrt{3600 + 7921 - 2 \cdot 60 \cdot (89 \cos (4915))}$

Schritt 4.3

Multipliziere $- 2 \cdot 60 \cdot 89$ .

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $60$ .

$a = \sqrt{3600 + 7921 - 120 \cdot (89 \cos (4915))}$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $- 120$ mit $89$ .

$a = \sqrt{3600 + 7921 - 10680 \cos (4915)}$

Schritt 4.4

Remove full rotations of $360$ ° until the angle is between $0$ ° and $360$ °.

$a = \sqrt{3600 + 7921 - 10680 \cos (235)}$

Schritt 4.5

Berechne $\cos (235)$ .

$a = \sqrt{3600 + 7921 - 10680 \cdot - 0.57357643}$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $- 10680$ mit $- 0.57357643$ .

$a = \sqrt{3600 + 7921 + 6125.79634022}$

Schritt 4.7

Addiere $3600$ und $7921$ .

$a = \sqrt{11521 + 6125.79634022}$

Schritt 4.8

Addiere $11521$ und $6125.79634022$ .

$a = \sqrt{17646.79634022}$

Schritt 4.9

Berechne die Wurzel.

$a = 132.84124487$

Schritt 5

Der Sinussatz basiert auf der Proportionalität von Seiten und Winkeln in Dreiecken. Der Satz sagt, dass für die Winkel eines allgemeinen Dreiecks gilt, dass jeder Winkel des Dreiecks das gleiche Verhältnis von Winkelmaß zum Sinus aufweist.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Schritt 6

Setze die bekannten Werte in den Sinussatz ein, um $B$ zu bestimmen.

$\frac{\sin (B)}{60} = \frac{\sin (4915)}{132.84124487}$

Schritt 7

Löse die Gleichung nach $B$ auf.

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Schritt 7.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $60$ .

$60 \frac{\sin (B)}{60} = 60 \frac{\sin (4915)}{132.84124487}$

Schritt 7.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $60$ .

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Schritt 7.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$60 \frac{\sin (B)}{60} = 60 \frac{\sin (4915)}{132.84124487}$

Schritt 7.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (B) = 60 \frac{\sin (4915)}{132.84124487}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.2.1

Vereinfache $60 \frac{\sin (4915)}{132.84124487}$ .

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Schritt 7.2.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.2.1.1.1

Remove full rotations of $360$ ° until the angle is between $0$ ° and $360$ °.

$\sin (B) = 60 \frac{\sin (235)}{132.84124487}$

Schritt 7.2.2.1.1.2

Berechne $\sin (235)$ .

$\sin (B) = 60 (\frac{- 0.81915204}{132.84124487})$

Schritt 7.2.2.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.2.2.1.2.1

Dividiere $- 0.81915204$ durch $132.84124487$ .

$\sin (B) = 60 \cdot - 0.00616639$

Schritt 7.2.2.1.2.2

Mutltipliziere $60$ mit $- 0.00616639$ .

$\sin (B) = - 0.3699839$

Schritt 7.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $B$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$B = \arcsin (- 0.3699839)$

Schritt 7.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.4.1

Berechne $\arcsin (- 0.3699839)$ .

$B = - 21.71462472$

Schritt 7.5

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $360$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $180$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$B = 360 + 21.71462472 + 180$

Schritt 7.6

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 7.6.1

Subtrahiere $360 °$ von $360 + 21.71462472 + 180 °$ .

$B = 360 + 21.71462472 + 180 ° - 360 °$

Schritt 7.6.2

Der resultierende Winkel von $201.71462472 °$ ist positiv, kleiner als $360 °$ und gleich $360 + 21.71462472 + 180$ .

$B = 201.71462472 °$

Schritt 7.7

Die Lösung der Gleichung $B = - 21.71462472$ .

$B = - 21.71462472, 201.71462472$

Schritt 7.8

Das Dreieck ist ungültig.

Ungültiges Dreieck

Schritt 8

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Schritt 9

Setze die bekannten Werte in den Sinussatz ein, um $B$ zu bestimmen.

$\frac{\sin (B)}{60} = \frac{\sin (4915)}{132.84124487}$

Schritt 10

Löse die Gleichung nach $B$ auf.

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Schritt 10.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $60$ .

$60 \frac{\sin (B)}{60} = 60 \frac{\sin (4915)}{132.84124487}$

Schritt 10.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 10.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $60$ .

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Schritt 10.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$60 \frac{\sin (B)}{60} = 60 \frac{\sin (4915)}{132.84124487}$

Schritt 10.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (B) = 60 \frac{\sin (4915)}{132.84124487}$

Schritt 10.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.2.2.1

Vereinfache $60 \frac{\sin (4915)}{132.84124487}$ .

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Schritt 10.2.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.2.2.1.1.1

Remove full rotations of $360$ ° until the angle is between $0$ ° and $360$ °.

$\sin (B) = 60 \frac{\sin (235)}{132.84124487}$

Schritt 10.2.2.1.1.2

Berechne $\sin (235)$ .

$\sin (B) = 60 (\frac{- 0.81915204}{132.84124487})$

Schritt 10.2.2.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 10.2.2.1.2.1

Dividiere $- 0.81915204$ durch $132.84124487$ .

$\sin (B) = 60 \cdot - 0.00616639$

Schritt 10.2.2.1.2.2

Mutltipliziere $60$ mit $- 0.00616639$ .

$\sin (B) = - 0.3699839$

Schritt 10.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $B$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$B = \arcsin (- 0.3699839)$

Schritt 10.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.4.1

Berechne $\arcsin (- 0.3699839)$ .

$B = - 21.71462472$

Schritt 10.5

$B = 360 + 21.71462472 + 180$

Schritt 10.6

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 10.6.1

Subtrahiere $360 °$ von $360 + 21.71462472 + 180 °$ .

$B = 360 + 21.71462472 + 180 ° - 360 °$

Schritt 10.6.2

Der resultierende Winkel von $201.71462472 °$ ist positiv, kleiner als $360 °$ und gleich $360 + 21.71462472 + 180$ .

$B = 201.71462472 °$

Schritt 10.7

Die Lösung der Gleichung $B = - 21.71462472$ .

$B = - 21.71462472, 201.71462472$

Schritt 10.8

Das Dreieck ist ungültig.

Ungültiges Dreieck

Schritt 11

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Schritt 12

Setze die bekannten Werte in den Sinussatz ein, um $B$ zu bestimmen.

$\frac{\sin (B)}{60} = \frac{\sin (4915)}{132.84124487}$

Schritt 13

Löse die Gleichung nach $B$ auf.

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Schritt 13.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $60$ .

$60 \frac{\sin (B)}{60} = 60 \frac{\sin (4915)}{132.84124487}$

Schritt 13.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 13.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 13.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $60$ .

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Schritt 13.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$60 \frac{\sin (B)}{60} = 60 \frac{\sin (4915)}{132.84124487}$

Schritt 13.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (B) = 60 \frac{\sin (4915)}{132.84124487}$

Schritt 13.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 13.2.2.1

Vereinfache $60 \frac{\sin (4915)}{132.84124487}$ .

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Schritt 13.2.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.2.2.1.1.1

Remove full rotations of $360$ ° until the angle is between $0$ ° and $360$ °.

$\sin (B) = 60 \frac{\sin (235)}{132.84124487}$

Schritt 13.2.2.1.1.2

Berechne $\sin (235)$ .

$\sin (B) = 60 (\frac{- 0.81915204}{132.84124487})$

Schritt 13.2.2.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 13.2.2.1.2.1

Dividiere $- 0.81915204$ durch $132.84124487$ .

$\sin (B) = 60 \cdot - 0.00616639$

Schritt 13.2.2.1.2.2

Mutltipliziere $60$ mit $- 0.00616639$ .

$\sin (B) = - 0.3699839$

Schritt 13.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $B$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$B = \arcsin (- 0.3699839)$

Schritt 13.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 13.4.1

Berechne $\arcsin (- 0.3699839)$ .

$B = - 21.71462472$

Schritt 13.5

$B = 360 + 21.71462472 + 180$

Schritt 13.6

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 13.6.1

Subtrahiere $360 °$ von $360 + 21.71462472 + 180 °$ .

$B = 360 + 21.71462472 + 180 ° - 360 °$

Schritt 13.6.2

Der resultierende Winkel von $201.71462472 °$ ist positiv, kleiner als $360 °$ und gleich $360 + 21.71462472 + 180$ .

$B = 201.71462472 °$

Schritt 13.7

Die Lösung der Gleichung $B = - 21.71462472$ .

$B = - 21.71462472, 201.71462472$

Schritt 13.8

Das Dreieck ist ungültig.

Ungültiges Dreieck

Schritt 14

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Schritt 15

Setze die bekannten Werte in den Sinussatz ein, um $B$ zu bestimmen.

$\frac{\sin (B)}{60} = \frac{\sin (4915)}{132.84124487}$

Schritt 16

Löse die Gleichung nach $B$ auf.

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Schritt 16.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $60$ .

$60 \frac{\sin (B)}{60} = 60 \frac{\sin (4915)}{132.84124487}$

Schritt 16.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 16.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 16.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $60$ .

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Schritt 16.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$60 \frac{\sin (B)}{60} = 60 \frac{\sin (4915)}{132.84124487}$

Schritt 16.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (B) = 60 \frac{\sin (4915)}{132.84124487}$

Schritt 16.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 16.2.2.1

Vereinfache $60 \frac{\sin (4915)}{132.84124487}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.2.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 16.2.2.1.1.1

Remove full rotations of $360$ ° until the angle is between $0$ ° and $360$ °.

$\sin (B) = 60 \frac{\sin (235)}{132.84124487}$

Schritt 16.2.2.1.1.2

Berechne $\sin (235)$ .

$\sin (B) = 60 (\frac{- 0.81915204}{132.84124487})$

Schritt 16.2.2.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.2.2.1.2.1

Dividiere $- 0.81915204$ durch $132.84124487$ .

$\sin (B) = 60 \cdot - 0.00616639$

Schritt 16.2.2.1.2.2

Mutltipliziere $60$ mit $- 0.00616639$ .

$\sin (B) = - 0.3699839$

Schritt 16.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $B$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$B = \arcsin (- 0.3699839)$

Schritt 16.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 16.4.1

Berechne $\arcsin (- 0.3699839)$ .

$B = - 21.71462472$

Schritt 16.5

$B = 360 + 21.71462472 + 180$

Schritt 16.6

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 16.6.1

Subtrahiere $360 °$ von $360 + 21.71462472 + 180 °$ .

$B = 360 + 21.71462472 + 180 ° - 360 °$

Schritt 16.6.2

Der resultierende Winkel von $201.71462472 °$ ist positiv, kleiner als $360 °$ und gleich $360 + 21.71462472 + 180$ .

$B = 201.71462472 °$

Schritt 16.7

Die Lösung der Gleichung $B = - 21.71462472$ .

$B = - 21.71462472, 201.71462472$

Schritt 16.8

Das Dreieck ist ungültig.

Ungültiges Dreieck

Schritt 17

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Schritt 18

Setze die bekannten Werte in den Sinussatz ein, um $B$ zu bestimmen.

$\frac{\sin (B)}{60} = \frac{\sin (4915)}{132.84124487}$

Schritt 19

Löse die Gleichung nach $B$ auf.

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Schritt 19.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $60$ .

$60 \frac{\sin (B)}{60} = 60 \frac{\sin (4915)}{132.84124487}$

Schritt 19.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 19.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 19.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $60$ .

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Schritt 19.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$60 \frac{\sin (B)}{60} = 60 \frac{\sin (4915)}{132.84124487}$

Schritt 19.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (B) = 60 \frac{\sin (4915)}{132.84124487}$

Schritt 19.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 19.2.2.1

Vereinfache $60 \frac{\sin (4915)}{132.84124487}$ .

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Schritt 19.2.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 19.2.2.1.1.1

Remove full rotations of $360$ ° until the angle is between $0$ ° and $360$ °.

$\sin (B) = 60 \frac{\sin (235)}{132.84124487}$

Schritt 19.2.2.1.1.2

Berechne $\sin (235)$ .

$\sin (B) = 60 (\frac{- 0.81915204}{132.84124487})$

Schritt 19.2.2.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 19.2.2.1.2.1

Dividiere $- 0.81915204$ durch $132.84124487$ .

$\sin (B) = 60 \cdot - 0.00616639$

Schritt 19.2.2.1.2.2

Mutltipliziere $60$ mit $- 0.00616639$ .

$\sin (B) = - 0.3699839$

Schritt 19.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $B$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$B = \arcsin (- 0.3699839)$

Schritt 19.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 19.4.1

Berechne $\arcsin (- 0.3699839)$ .

$B = - 21.71462472$

Schritt 19.5

$B = 360 + 21.71462472 + 180$

Schritt 19.6

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 19.6.1

Subtrahiere $360 °$ von $360 + 21.71462472 + 180 °$ .

$B = 360 + 21.71462472 + 180 ° - 360 °$

Schritt 19.6.2

Der resultierende Winkel von $201.71462472 °$ ist positiv, kleiner als $360 °$ und gleich $360 + 21.71462472 + 180$ .

$B = 201.71462472 °$

Schritt 19.7

Die Lösung der Gleichung $B = - 21.71462472$ .

$B = - 21.71462472, 201.71462472$

Schritt 19.8

Das Dreieck ist ungültig.

Ungültiges Dreieck

Schritt 20

Es sind nicht genügend Parameter gegeben, um das Dreieck zu bestimmen.

Unbekanntes Dreieck