Trigonometrie Beispiele

$b = 1$ , $c = 2$ , $A = 150$

Schritt 1

Verwende den Kosinussatz, um die unbekannte Seite des Dreiecks zu bestimmen, wenn die anderen zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben sind.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Schritt 2

Löse die Gleichung.

$a = \sqrt{b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)}$

Schritt 3

Setze die bekannten Werte in die Gleichung ein.

$a = \sqrt{{(1)}^{2} + {(2)}^{2} - 2 \cdot 1 \cdot 2 \cos (150)}$

Schritt 4

Vereinfache die Ergebnisse.

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Schritt 4.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$a = \sqrt{1 + {(2)}^{2} - 2 \cdot 1 \cdot (2 \cos (150))}$

Schritt 4.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$a = \sqrt{1 + 4 - 2 \cdot 1 \cdot (2 \cos (150))}$

Schritt 4.3

Multipliziere $- 2 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$a = \sqrt{1 + 4 - 2 \cdot (2 \cos (150))}$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$a = \sqrt{1 + 4 - 4 \cos (150)}$

Schritt 4.4

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$a = \sqrt{1 + 4 - 4 (- \cos (30))}$

Schritt 4.5

Der genau Wert von $\cos (30)$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$a = \sqrt{1 + 4 - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{2})}$

Schritt 4.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.6.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ in den Zähler.

$a = \sqrt{1 + 4 - 4 \frac{- \sqrt{3}}{2}}$

Schritt 4.6.2

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$a = \sqrt{1 + 4 + 2 (- 2) (\frac{- \sqrt{3}}{2})}$

Schritt 4.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$a = \sqrt{1 + 4 + 2 \cdot (- 2 \frac{- \sqrt{3}}{2})}$

Schritt 4.6.4

Forme den Ausdruck um.

$a = \sqrt{1 + 4 - 2 (- \sqrt{3})}$

Schritt 4.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$a = \sqrt{1 + 4 + 2 \sqrt{3}}$

Schritt 4.7.2

Addiere $1$ und $4$ .

$a = \sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}$

Schritt 5

Der Sinussatz basiert auf der Proportionalität von Seiten und Winkeln in Dreiecken. Der Satz sagt, dass für die Winkel eines allgemeinen Dreiecks gilt, dass jeder Winkel des Dreiecks das gleiche Verhältnis von Winkelmaß zum Sinus aufweist.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Schritt 6

Setze die bekannten Werte in den Sinussatz ein, um $B$ zu bestimmen.

$\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$

Schritt 7

Löse die Gleichung nach $B$ auf.

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Schritt 7.1

Damit die zwei Funktionen gleich sind, müssen ihre Argumente gleich sein.

$B = 150$

Schritt 7.2

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $180$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$B = 180 - 150$

Schritt 7.3

Subtrahiere $150$ von $180$ .

$B = 30$

Schritt 7.4

Die Lösung der Gleichung $\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$ .

$B = 150, 30$

Schritt 7.5

Schließe die Lösungen aus, die $\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$ nicht erfüllen.

$Keine Lösung$

Schritt 8

Es sind nicht genügend Parameter gegeben, um das Dreieck zu bestimmen.

Unbekanntes Dreieck

Schritt 9

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Schritt 10

Setze die bekannten Werte in den Sinussatz ein, um $B$ zu bestimmen.

$\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$

Schritt 11

Löse die Gleichung nach $B$ auf.

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Schritt 11.1

Damit die zwei Funktionen gleich sind, müssen ihre Argumente gleich sein.

$B = 150$

Schritt 11.2

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $180$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$B = 180 - 150$

Schritt 11.3

Subtrahiere $150$ von $180$ .

$B = 30$

Schritt 11.4

Die Lösung der Gleichung $\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$ .

$B = 150, 30$

Schritt 11.5

Schließe die Lösungen aus, die $\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$ nicht erfüllen.

$Keine Lösung$

Schritt 12

Es sind nicht genügend Parameter gegeben, um das Dreieck zu bestimmen.

Unbekanntes Dreieck

Schritt 13

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Schritt 14

Setze die bekannten Werte in den Sinussatz ein, um $B$ zu bestimmen.

$\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$

Schritt 15

Löse die Gleichung nach $B$ auf.

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Schritt 15.1

Damit die zwei Funktionen gleich sind, müssen ihre Argumente gleich sein.

$B = 150$

Schritt 15.2

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $180$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$B = 180 - 150$

Schritt 15.3

Subtrahiere $150$ von $180$ .

$B = 30$

Schritt 15.4

Die Lösung der Gleichung $\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$ .

$B = 150, 30$

Schritt 15.5

Schließe die Lösungen aus, die $\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$ nicht erfüllen.

$Keine Lösung$

Schritt 16

Es sind nicht genügend Parameter gegeben, um das Dreieck zu bestimmen.

Unbekanntes Dreieck

Schritt 17

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Schritt 18

Setze die bekannten Werte in den Sinussatz ein, um $B$ zu bestimmen.

$\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$

Schritt 19

Löse die Gleichung nach $B$ auf.

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Schritt 19.1

Damit die zwei Funktionen gleich sind, müssen ihre Argumente gleich sein.

$B = 150$

Schritt 19.2

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $180$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$B = 180 - 150$

Schritt 19.3

Subtrahiere $150$ von $180$ .

$B = 30$

Schritt 19.4

Die Lösung der Gleichung $\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$ .

$B = 150, 30$

Schritt 19.5

Schließe die Lösungen aus, die $\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$ nicht erfüllen.

$Keine Lösung$

Schritt 20

Es sind nicht genügend Parameter gegeben, um das Dreieck zu bestimmen.

Unbekanntes Dreieck

Schritt 21

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Schritt 22

Setze die bekannten Werte in den Sinussatz ein, um $B$ zu bestimmen.

$\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$

Schritt 23

Löse die Gleichung nach $B$ auf.

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Schritt 23.1

Damit die zwei Funktionen gleich sind, müssen ihre Argumente gleich sein.

$B = 150$

Schritt 23.2

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $180$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$B = 180 - 150$

Schritt 23.3

Subtrahiere $150$ von $180$ .

$B = 30$

Schritt 23.4

Die Lösung der Gleichung $\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$ .

$B = 150, 30$

Schritt 23.5

Schließe die Lösungen aus, die $\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$ nicht erfüllen.

$Keine Lösung$

Schritt 24

Es sind nicht genügend Parameter gegeben, um das Dreieck zu bestimmen.

Unbekanntes Dreieck