Trigonometrie Beispiele

$a = 65$ , $b = 25$ , $c = 51$

Schritt 1

Verwende den Kosinussatz, um die unbekannte Seite des Dreiecks zu bestimmen, wenn die anderen zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben sind.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Schritt 2

Löse die Gleichung.

$A = \arccos (\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c})$

Schritt 3

Setze die bekannten Werte in die Gleichung ein.

$A = \arccos (\frac{{(25)}^{2} + {(51)}^{2} - {(65)}^{2}}{2 (25) (51)})$

Schritt 4

Vereinfache die Ergebnisse.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $25$ mit $2$ .

$A = \arccos (\frac{625 + 51^{2} - 65^{2}}{2 (25) \cdot 51})$

Schritt 4.1.2

Potenziere $51$ mit $2$ .

$A = \arccos (\frac{625 + 2601 - 65^{2}}{2 (25) \cdot 51})$

Schritt 4.1.3

Potenziere $65$ mit $2$ .

$A = \arccos (\frac{625 + 2601 - 1 \cdot 4225}{2 (25) \cdot 51})$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $4225$ .

$A = \arccos (\frac{625 + 2601 - 4225}{2 (25) \cdot 51})$

Schritt 4.1.5

Addiere $625$ und $2601$ .

$A = \arccos (\frac{3226 - 4225}{2 (25) \cdot 51})$

Schritt 4.1.6

Subtrahiere $4225$ von $3226$ .

$A = \arccos (\frac{- 999}{2 (25) \cdot 51})$

Schritt 4.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $25$ .

$A = \arccos (\frac{- 999}{50 \cdot 51})$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $50$ mit $51$ .

$A = \arccos (\frac{- 999}{2550})$

Schritt 4.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 999$ und $2550$ .

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Schritt 4.3.1.1

Faktorisiere $3$ aus $- 999$ heraus.

$A = \arccos (\frac{3 (- 333)}{2550})$

Schritt 4.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $2550$ heraus.

$A = \arccos (\frac{3 \cdot - 333}{3 \cdot 850})$

Schritt 4.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A = \arccos (\frac{3 \cdot - 333}{3 \cdot 850})$

Schritt 4.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$A = \arccos (\frac{- 333}{850})$

Schritt 4.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$A = \arccos (- \frac{333}{850})$

Schritt 4.4

Berechne $\arccos (- \frac{333}{850})$ .

$A = 113.0643492$

Schritt 5

Verwende den Kosinussatz, um die unbekannte Seite des Dreiecks zu bestimmen, wenn die anderen zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben sind.

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)$

Schritt 6

Löse die Gleichung.

$B = \arccos (\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c})$

Schritt 7

Setze die bekannten Werte in die Gleichung ein.

$B = \arccos (\frac{{(65)}^{2} + {(51)}^{2} - {(25)}^{2}}{2 (65) (51)})$

Schritt 8

Vereinfache die Ergebnisse.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1

Potenziere $65$ mit $2$ .

$B = \arccos (\frac{4225 + 51^{2} - 25^{2}}{2 (65) \cdot 51})$

Schritt 8.1.2

Potenziere $51$ mit $2$ .

$B = \arccos (\frac{4225 + 2601 - 25^{2}}{2 (65) \cdot 51})$

Schritt 8.1.3

Potenziere $25$ mit $2$ .

$B = \arccos (\frac{4225 + 2601 - 1 \cdot 625}{2 (65) \cdot 51})$

Schritt 8.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $625$ .

$B = \arccos (\frac{4225 + 2601 - 625}{2 (65) \cdot 51})$

Schritt 8.1.5

Addiere $4225$ und $2601$ .

$B = \arccos (\frac{6826 - 625}{2 (65) \cdot 51})$

Schritt 8.1.6

Subtrahiere $625$ von $6826$ .

$B = \arccos (\frac{6201}{2 (65) \cdot 51})$

Schritt 8.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $65$ .

$B = \arccos (\frac{6201}{130 \cdot 51})$

Schritt 8.2.2

Mutltipliziere $130$ mit $51$ .

$B = \arccos (\frac{6201}{6630})$

Schritt 8.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6201$ und $6630$ .

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Schritt 8.3.1

Faktorisiere $39$ aus $6201$ heraus.

$B = \arccos (\frac{39 (159)}{6630})$

Schritt 8.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.2.1

Faktorisiere $39$ aus $6630$ heraus.

$B = \arccos (\frac{39 \cdot 159}{39 \cdot 170})$

Schritt 8.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$B = \arccos (\frac{39 \cdot 159}{39 \cdot 170})$

Schritt 8.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$B = \arccos (\frac{159}{170})$

Schritt 8.4

Berechne $\arccos (\frac{159}{170})$ .

$B = 20.72428624$

Schritt 9

Die Summe aller Winkel in einem Dreieck ist $180$ Grad.

$113.0643492 + C + 20.72428624 = 180$

Schritt 10

Löse die Gleichung nach $C$ auf.

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Schritt 10.1

Addiere $113.0643492$ und $20.72428624$ .

$C + 133.78863545 = 180$

Schritt 10.2

Bringe alle Terme, die nicht $C$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 10.2.1

Subtrahiere $133.78863545$ von beiden Seiten der Gleichung.

$C = 180 - 133.78863545$

Schritt 10.2.2

Subtrahiere $133.78863545$ von $180$ .

$C = 46.21136454$

Schritt 11

Dies sind die Ergebnisse für alle Winkel und Seiten des gegebenen Dreiecks.

$A = 113.0643492$

$B = 20.72428624$

$C = 46.21136454$

$a = 65$

$b = 25$

$c = 51$