Trigonometrie Beispiele

Löse das Dreieck A=60 , b=6 , c=9
, ,
Schritt 1
Verwende den Kosinussatz, um die unbekannte Seite des Dreiecks zu bestimmen, wenn die anderen zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben sind.
Schritt 2
Löse die Gleichung.
Schritt 3
Setze die bekannten Werte in die Gleichung ein.
Schritt 4
Vereinfache die Ergebnisse.
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Schritt 4.1
Potenziere mit .
Schritt 4.2
Potenziere mit .
Schritt 4.3
Multipliziere .
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Schritt 4.3.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.3.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.4
Der genau Wert von ist .
Schritt 4.5
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 4.5.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.5.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.5.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.6
Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.
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Schritt 4.6.1
Addiere und .
Schritt 4.6.2
Subtrahiere von .
Schritt 4.7
Schreibe als um.
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Schritt 4.7.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.7.2
Schreibe als um.
Schritt 4.8
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.
Schritt 5
Der Sinussatz basiert auf der Proportionalität von Seiten und Winkeln in Dreiecken. Der Satz sagt, dass für die Winkel eines allgemeinen Dreiecks gilt, dass jeder Winkel des Dreiecks das gleiche Verhältnis von Winkelmaß zum Sinus aufweist.
Schritt 6
Setze die bekannten Werte in den Sinussatz ein, um zu bestimmen.
Schritt 7
Löse die Gleichung nach auf.
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Schritt 7.1
Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit .
Schritt 7.2
Vereinfache beide Seiten der Gleichung.
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Schritt 7.2.1
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 7.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 7.2.1.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 7.2.1.1.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 7.2.2
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 7.2.2.1
Vereinfache .
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Schritt 7.2.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 7.2.2.1.1.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 7.2.2.1.1.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 7.2.2.1.1.3
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 7.2.2.1.1.4
Forme den Ausdruck um.
Schritt 7.2.2.1.2
Kombiniere und .
Schritt 7.2.2.1.3
Der genau Wert von ist .
Schritt 7.2.2.1.4
Kombiniere und .
Schritt 7.2.2.1.5
Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.
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Schritt 7.2.2.1.5.1
Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.
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Schritt 7.2.2.1.5.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 7.2.2.1.5.1.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 7.2.2.1.5.2
Dividiere durch .
Schritt 7.2.2.1.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 7.2.2.1.7
Vereinige und vereinfache den Nenner.
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Schritt 7.2.2.1.7.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 7.2.2.1.7.2
Potenziere mit .
Schritt 7.2.2.1.7.3
Potenziere mit .
Schritt 7.2.2.1.7.4
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 7.2.2.1.7.5
Addiere und .
Schritt 7.2.2.1.7.6
Schreibe als um.
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Schritt 7.2.2.1.7.6.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 7.2.2.1.7.6.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 7.2.2.1.7.6.3
Kombiniere und .
Schritt 7.2.2.1.7.6.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 7.2.2.1.7.6.4.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 7.2.2.1.7.6.4.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 7.2.2.1.7.6.5
Berechne den Exponenten.
Schritt 7.2.2.1.8
Vereinfache den Zähler.
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Schritt 7.2.2.1.8.1
Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.
Schritt 7.2.2.1.8.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 7.3
Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um aus dem Sinus herauszuziehen.
Schritt 7.4
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 7.4.1
Berechne .
Schritt 7.5
Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.
Schritt 7.6
Subtrahiere von .
Schritt 7.7
Die Lösung der Gleichung .
Schritt 7.8
Schließe den ungültigen Winkel aus.
Schritt 8
Die Summe aller Winkel in einem Dreieck ist Grad.
Schritt 9
Löse die Gleichung nach auf.
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Schritt 9.1
Addiere und .
Schritt 9.2
Bringe alle Terme, die nicht enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.
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Schritt 9.2.1
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 9.2.2
Subtrahiere von .
Schritt 10
Dies sind die Ergebnisse für alle Winkel und Seiten des gegebenen Dreiecks.