Trigonometrie Beispiele

$a = 60$ , $b = 67$ , $c = 72$

Schritt 1

Verwende den Kosinussatz, um die unbekannte Seite des Dreiecks zu bestimmen, wenn die anderen zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben sind.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Schritt 2

Löse die Gleichung.

$A = \arccos (\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c})$

Schritt 3

Setze die bekannten Werte in die Gleichung ein.

$A = \arccos (\frac{{(67)}^{2} + {(72)}^{2} - {(60)}^{2}}{2 (67) (72)})$

Schritt 4

Vereinfache die Ergebnisse.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $67$ mit $2$ .

$A = \arccos (\frac{4489 + 72^{2} - 60^{2}}{2 (67) \cdot 72})$

Schritt 4.1.2

Potenziere $72$ mit $2$ .

$A = \arccos (\frac{4489 + 5184 - 60^{2}}{2 (67) \cdot 72})$

Schritt 4.1.3

Potenziere $60$ mit $2$ .

$A = \arccos (\frac{4489 + 5184 - 1 \cdot 3600}{2 (67) \cdot 72})$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $3600$ .

$A = \arccos (\frac{4489 + 5184 - 3600}{2 (67) \cdot 72})$

Schritt 4.1.5

Addiere $4489$ und $5184$ .

$A = \arccos (\frac{9673 - 3600}{2 (67) \cdot 72})$

Schritt 4.1.6

Subtrahiere $3600$ von $9673$ .

$A = \arccos (\frac{6073}{2 (67) \cdot 72})$

Schritt 4.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $67$ .

$A = \arccos (\frac{6073}{134 \cdot 72})$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $134$ mit $72$ .

$A = \arccos (\frac{6073}{9648})$

Schritt 4.3

Berechne $\arccos (\frac{6073}{9648})$ .

$A = 50.98993634$

Schritt 5

Verwende den Kosinussatz, um die unbekannte Seite des Dreiecks zu bestimmen, wenn die anderen zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben sind.

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)$

Schritt 6

Löse die Gleichung.

$B = \arccos (\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c})$

Schritt 7

Setze die bekannten Werte in die Gleichung ein.

$B = \arccos (\frac{{(60)}^{2} + {(72)}^{2} - {(67)}^{2}}{2 (60) (72)})$

Schritt 8

Vereinfache die Ergebnisse.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1

Potenziere $60$ mit $2$ .

$B = \arccos (\frac{3600 + 72^{2} - 67^{2}}{2 (60) \cdot 72})$

Schritt 8.1.2

Potenziere $72$ mit $2$ .

$B = \arccos (\frac{3600 + 5184 - 67^{2}}{2 (60) \cdot 72})$

Schritt 8.1.3

Potenziere $67$ mit $2$ .

$B = \arccos (\frac{3600 + 5184 - 1 \cdot 4489}{2 (60) \cdot 72})$

Schritt 8.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $4489$ .

$B = \arccos (\frac{3600 + 5184 - 4489}{2 (60) \cdot 72})$

Schritt 8.1.5

Addiere $3600$ und $5184$ .

$B = \arccos (\frac{8784 - 4489}{2 (60) \cdot 72})$

Schritt 8.1.6

Subtrahiere $4489$ von $8784$ .

$B = \arccos (\frac{4295}{2 (60) \cdot 72})$

Schritt 8.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $60$ .

$B = \arccos (\frac{4295}{120 \cdot 72})$

Schritt 8.2.2

Mutltipliziere $120$ mit $72$ .

$B = \arccos (\frac{4295}{8640})$

Schritt 8.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4295$ und $8640$ .

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Schritt 8.3.1

Faktorisiere $5$ aus $4295$ heraus.

$B = \arccos (\frac{5 (859)}{8640})$

Schritt 8.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.2.1

Faktorisiere $5$ aus $8640$ heraus.

$B = \arccos (\frac{5 \cdot 859}{5 \cdot 1728})$

Schritt 8.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$B = \arccos (\frac{5 \cdot 859}{5 \cdot 1728})$

Schritt 8.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$B = \arccos (\frac{859}{1728})$

Schritt 8.4

Berechne $\arccos (\frac{859}{1728})$ .

$B = 60.19124971$

Schritt 9

Die Summe aller Winkel in einem Dreieck ist $180$ Grad.

$50.98993634 + C + 60.19124971 = 180$

Schritt 10

Löse die Gleichung nach $C$ auf.

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Schritt 10.1

Addiere $50.98993634$ und $60.19124971$ .

$C + 111.18118606 = 180$

Schritt 10.2

Bringe alle Terme, die nicht $C$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 10.2.1

Subtrahiere $111.18118606$ von beiden Seiten der Gleichung.

$C = 180 - 111.18118606$

Schritt 10.2.2

Subtrahiere $111.18118606$ von $180$ .

$C = 68.81881393$

Schritt 11

Dies sind die Ergebnisse für alle Winkel und Seiten des gegebenen Dreiecks.

$A = 50.98993634$

$B = 60.19124971$

$C = 68.81881393$

$a = 60$

$b = 67$

$c = 72$