Trigonometrie Beispiele

$\sin (\frac{3}{2} x) = 0$

Schritt 1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$\frac{3}{2} x = \arcsin (0)$

Schritt 2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $x$ .

$\frac{3 x}{2} = \arcsin (0)$

Schritt 3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$\frac{3 x}{2} = 0$

Schritt 4

Setze den Zähler gleich Null.

$3 x = 0$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 0$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 0$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{3}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Dividiere $0$ durch $3$ .

$x = 0$

Schritt 6

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$\frac{3 x}{2} = π - 0$

Schritt 7

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x}{2} = \frac{2}{3} (π - 0)$

Schritt 7.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1.1

Vereinfache $\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x}{2}$ .

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Schritt 7.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x}{2} = \frac{2}{3} (π - 0)$

Schritt 7.2.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} (3 x) = \frac{2}{3} (π - 0)$

Schritt 7.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.2.1.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$\frac{1}{3} (3 (x)) = \frac{2}{3} (π - 0)$

Schritt 7.2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3} (3 x) = \frac{2}{3} (π - 0)$

Schritt 7.2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{2}{3} (π - 0)$

Schritt 7.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.2.1

Vereinfache $\frac{2}{3} (π - 0)$ .

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Schritt 7.2.2.1.1

Subtrahiere $0$ von $π$ .

$x = \frac{2}{3} π$

Schritt 7.2.2.1.2

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $π$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Schritt 8

Ermittele die Periode von $\sin (\frac{3}{2} x)$ .

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Schritt 8.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 8.2

Ersetze $b$ durch $\frac{3}{2}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{3}{2} |}$

Schritt 8.3

$\frac{3}{2}$ ist ungefähr $1.5$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{3}{2}}$

Schritt 8.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \frac{2}{3}$

Schritt 8.5

Multipliziere $2 π \frac{2}{3}$ .

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Schritt 8.5.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3} π$

Schritt 8.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4}{3} π$

Schritt 8.5.3

Kombiniere $\frac{4}{3}$ und $π$ .

$\frac{4 π}{3}$

Schritt 9

Die Periode der Funktion $\sin (\frac{3}{2} x)$ ist $\frac{4 π}{3}$ , d. h., Werte werden sich alle $\frac{4 π}{3}$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{4 π n}{3}, \frac{2 π}{3} + \frac{4 π n}{3}$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 10

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{2 π n}{3}$ , für jede ganze Zahl $n$