Trigonometrie Beispiele

$a = 10$ , $b = 12$ , $c = 16$

Schritt 1

Verwende den Kosinussatz, um die unbekannte Seite des Dreiecks zu bestimmen, wenn die anderen zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben sind.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Schritt 2

Löse die Gleichung.

$A = \arccos (\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c})$

Schritt 3

Setze die bekannten Werte in die Gleichung ein.

$A = \arccos (\frac{{(12)}^{2} + {(16)}^{2} - {(10)}^{2}}{2 (12) (16)})$

Schritt 4

Vereinfache die Ergebnisse.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $12$ mit $2$ .

$A = \arccos (\frac{144 + 16^{2} - 10^{2}}{2 (12) \cdot 16})$

Schritt 4.1.2

Potenziere $16$ mit $2$ .

$A = \arccos (\frac{144 + 256 - 10^{2}}{2 (12) \cdot 16})$

Schritt 4.1.3

Potenziere $10$ mit $2$ .

$A = \arccos (\frac{144 + 256 - 1 \cdot 100}{2 (12) \cdot 16})$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $100$ .

$A = \arccos (\frac{144 + 256 - 100}{2 (12) \cdot 16})$

Schritt 4.1.5

Addiere $144$ und $256$ .

$A = \arccos (\frac{400 - 100}{2 (12) \cdot 16})$

Schritt 4.1.6

Subtrahiere $100$ von $400$ .

$A = \arccos (\frac{300}{2 (12) \cdot 16})$

Schritt 4.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $12$ .

$A = \arccos (\frac{300}{24 \cdot 16})$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $24$ mit $16$ .

$A = \arccos (\frac{300}{384})$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $300$ und $384$ .

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Schritt 4.3.1

Faktorisiere $12$ aus $300$ heraus.

$A = \arccos (\frac{12 (25)}{384})$

Schritt 4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.2.1

Faktorisiere $12$ aus $384$ heraus.

$A = \arccos (\frac{12 \cdot 25}{12 \cdot 32})$

Schritt 4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A = \arccos (\frac{12 \cdot 25}{12 \cdot 32})$

Schritt 4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$A = \arccos (\frac{25}{32})$

Schritt 4.4

Berechne $\arccos (\frac{25}{32})$ .

$A = 38.62483287$

Schritt 5

Verwende den Kosinussatz, um die unbekannte Seite des Dreiecks zu bestimmen, wenn die anderen zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben sind.

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)$

Schritt 6

Löse die Gleichung.

$B = \arccos (\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c})$

Schritt 7

Setze die bekannten Werte in die Gleichung ein.

$B = \arccos (\frac{{(10)}^{2} + {(16)}^{2} - {(12)}^{2}}{2 (10) (16)})$

Schritt 8

Vereinfache die Ergebnisse.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1

Potenziere $10$ mit $2$ .

$B = \arccos (\frac{100 + 16^{2} - 12^{2}}{2 (10) \cdot 16})$

Schritt 8.1.2

Potenziere $16$ mit $2$ .

$B = \arccos (\frac{100 + 256 - 12^{2}}{2 (10) \cdot 16})$

Schritt 8.1.3

Potenziere $12$ mit $2$ .

$B = \arccos (\frac{100 + 256 - 1 \cdot 144}{2 (10) \cdot 16})$

Schritt 8.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $144$ .

$B = \arccos (\frac{100 + 256 - 144}{2 (10) \cdot 16})$

Schritt 8.1.5

Addiere $100$ und $256$ .

$B = \arccos (\frac{356 - 144}{2 (10) \cdot 16})$

Schritt 8.1.6

Subtrahiere $144$ von $356$ .

$B = \arccos (\frac{212}{2 (10) \cdot 16})$

Schritt 8.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $10$ .

$B = \arccos (\frac{212}{20 \cdot 16})$

Schritt 8.2.2

Mutltipliziere $20$ mit $16$ .

$B = \arccos (\frac{212}{320})$

Schritt 8.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $212$ und $320$ .

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Schritt 8.3.1

Faktorisiere $4$ aus $212$ heraus.

$B = \arccos (\frac{4 (53)}{320})$

Schritt 8.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $320$ heraus.

$B = \arccos (\frac{4 \cdot 53}{4 \cdot 80})$

Schritt 8.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$B = \arccos (\frac{4 \cdot 53}{4 \cdot 80})$

Schritt 8.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$B = \arccos (\frac{53}{80})$

Schritt 8.4

Berechne $\arccos (\frac{53}{80})$ .

$B = 48.50918314$

Schritt 9

Die Summe aller Winkel in einem Dreieck ist $180$ Grad.

$38.62483287 + C + 48.50918314 = 180$

Schritt 10

Löse die Gleichung nach $C$ auf.

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Schritt 10.1

Addiere $38.62483287$ und $48.50918314$ .

$C + 87.13401601 = 180$

Schritt 10.2

Bringe alle Terme, die nicht $C$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 10.2.1

Subtrahiere $87.13401601$ von beiden Seiten der Gleichung.

$C = 180 - 87.13401601$

Schritt 10.2.2

Subtrahiere $87.13401601$ von $180$ .

$C = 92.86598398$

Schritt 11

Dies sind die Ergebnisse für alle Winkel und Seiten des gegebenen Dreiecks.

$A = 38.62483287$

$B = 48.50918314$

$C = 92.86598398$

$a = 10$

$b = 12$

$c = 16$